Построение графика функции и определение значений m

Для построения графика функции $$y = |x|(x-1)-6x$$ рассмотрим два случая:

1. Если $$x \geq 0$$, то $$|x| = x$$, и функция принимает вид: $$y = x(x-1) - 6x = x^2 - x - 6x = x^2 - 7x$$.
2. Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и функция принимает вид: $$y = -x(x-1) - 6x = -x^2 + x - 6x = -x^2 - 5x$$.

Теперь построим графики этих функций на соответствующих промежутках.

1. Для $$x \geq 0$$, $$y = x^2 - 7x$$. Это парабола с вершиной в точке $$x_v = \frac{-(-7)}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$$. Значение функции в вершине: $$y_v = (3.5)^2 - 7(3.5) = 12.25 - 24.5 = -12.25$$. Точка пересечения с осью OX: $$x^2 - 7x = 0 \Rightarrow x(x-7) = 0$$, то есть $$x = 0$$ и $$x = 7$$.
2. Для $$x < 0$$, $$y = -x^2 - 5x$$. Это парабола с вершиной в точке $$x_v = \frac{-(-5)}{2(-1)} = -\frac{5}{2} = -2.5$$. Значение функции в вершине: $$y_v = -(-2.5)^2 - 5(-2.5) = -6.25 + 12.5 = 6.25$$. Точка пересечения с осью OX: $$-x^2 - 5x = 0 \Rightarrow -x(x+5) = 0$$, то есть $$x = 0$$ и $$x = -5$$.

Теперь построим график, используя полученные данные.

Прямая $$y = m$$ – это горизонтальная прямая. Она будет иметь с графиком ровно две общие точки, когда она проходит:

• Через вершину параболы для $$x < 0$$, то есть при $$y = 6.25$$.
• Касательно параболы для $$x \geq 0$$, но при этом не пересекает параболу для $$x < 0$$. Это происходит в точке, где $$y = -12.25$$.

Таким образом, прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки при $$m = 6.25$$ и $$m = -12.25$$.

Ответ: $$m = 6.25, -12.25$$.