Постройте график функции $$y = \frac{8}{x}$$ и опишите её свойства.

Функция $$y = \frac{8}{x}$$ представляет собой обратную пропорциональность.

Для построения графика, сначала определим несколько ключевых точек. Важно помнить, что x не может быть равен 0, так как деление на 0 не определено.

Рассмотрим несколько значений x и вычислим соответствующие значения y:

• Если $$x = 1$$, то $$y = \frac{8}{1} = 8$$
• Если $$x = 2$$, то $$y = \frac{8}{2} = 4$$
• Если $$x = 4$$, то $$y = \frac{8}{4} = 2$$
• Если $$x = 8$$, то $$y = \frac{8}{8} = 1$$
• Если $$x = -1$$, то $$y = \frac{8}{-1} = -8$$
• Если $$x = -2$$, то $$y = \frac{8}{-2} = -4$$
• Если $$x = -4$$, то $$y = \frac{8}{-4} = -2$$
• Если $$x = -8$$, то $$y = \frac{8}{-8} = -1$$

Теперь построим график, используя эти точки.

Свойства функции:

1. Область определения: Все действительные числа, кроме x = 0. Это можно записать как $$\mathbb{R} \setminus \{0\}$$ или $$(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$.
2. Область значений: Все действительные числа, кроме y = 0. Это можно записать как $$\mathbb{R} \setminus \{0\}$$ или $$(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$.
3. Четность: Функция нечетная, так как $$f(-x) = \frac{8}{-x} = -\frac{8}{x} = -f(x)$$. График симметричен относительно начала координат.
4. Нули функции: Функция не имеет нулей, так как не существует такого x, при котором y = 0.
5. Промежутки знакопостоянства:
   • y > 0 при x > 0 (первая координатная четверть).
   • y < 0 при x < 0 (третья координатная четверть).
6. Асимптоты:
   • Вертикальная асимптота: x = 0 (ось y).
   • Горизонтальная асимптота: y = 0 (ось x).
7. Возрастание/убывание: Функция убывает на интервале $$(-\infty; 0)$$ и на интервале $$(0; +\infty)$$.