Постройте график функции y = (x^4 - 26x^2 + 25) / ((x + 1)(x - 5)) и определите, при каких значениях c прямая y = c имеет с этим графиком ровно одну общую точку.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим числитель на множители:

   \( x^4 - 26x^2 + 25 = (x^2 - 1)(x^2 - 25) = (x - 1)(x + 1)(x - 5)(x + 5) \)

2. Шаг 2: Упростим функцию:

   \( y = \frac{(x - 1)(x + 1)(x - 5)(x + 5)}{(x + 1)(x - 5)} \)

   Сократим дробь, учитывая, что \( x
   eq -1 \) и \( x
   eq 5 \):

   \( y = (x - 1)(x + 5) = x^2 + 4x - 5 \), при \( x
   eq -1 \) и \( x
   eq 5 \)

3. Шаг 3: Заметим, что при \( x = -1 \) имеем \( y = (-1)^2 + 4(-1) - 5 = 1 - 4 - 5 = -8 \), следовательно, точка \( (-1, -8) \) выколота.

   При \( x = 5 \) имеем \( y = (5)^2 + 4(5) - 5 = 25 + 20 - 5 = 40 \), следовательно, точка \( (5, 40) \) выколота.

4. Шаг 4: Графиком является парабола \( y = x^2 + 4x - 5 \) с выколотыми точками \( (-1, -8) \) и \( (5, 40) \).

   Найдем вершину параболы: \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2} = -2 \)

   \( y_в = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \)

   Вершина параболы: \( (-2, -9) \)

5. Шаг 5: Определим значения c, при которых прямая \( y = c \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

   Прямая \( y = c \) имеет одну общую точку с параболой в следующих случаях:

   • Когда прямая проходит через вершину параболы: \( c = -9 \)
   • Когда прямая проходит через выколотую точку \( (-1, -8) \): \( c = -8 \)
   • Когда прямая проходит через выколотую точку \( (5, 40) \): \( c = 40 \)

Ответ: \( c = -9 \), \( c = -8 \), \( c = 40 \)