Решение задания 122

Построим график функции (y = -x^2 + 2x + 8).

Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при (x^2) отрицательный.

Найдем вершину параболы:

Координата (x) вершины параболы: $$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \cdot (-1)} = 1$$

Координата (y) вершины параболы: $$y_в = -(1)^2 + 2 \cdot 1 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке ((1; 9)).

Теперь найдем нули функции, то есть значения (x), при которых (y = 0):

$$-x^2 + 2x + 8 = 0$$

$$x^2 - 2x - 8 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$$

Нули функции: (x_1 = 4), (x_2 = -2).

Теперь построим график, используя найденные данные (вершину и нули функции). Далее ответим на вопросы.

1. a) Значение функции при x = 2,5; -0,5; -3:
   • При (x = 2,5): (y = -(2,5)^2 + 2(2,5) + 8 = -6,25 + 5 + 8 = 6,75)
   • При (x = -0,5): (y = -(-0,5)^2 + 2(-0,5) + 8 = -0,25 - 1 + 8 = 6,75)
   • При (x = -3): (y = -(-3)^2 + 2(-3) + 8 = -9 - 6 + 8 = -7)
2. б) Значения аргумента, при которых y = 6; 0; -2:

   Из графика: При (y = 6): (x \approx -1.65) и (x \approx 3.65) При (y = 0): (x = -2) и (x = 4) При (y = -2): (x \approx -2.83) и (x \approx 4.83)

3. в) Нули функции и промежутки знакопостоянства:

   Нули функции: (x = -2) и (x = 4)

   Промежутки знакопостоянства: (y > 0) при (x \in (-2; 4)) (y < 0) при (x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty))

4. г) Промежутки возрастания и убывания функции, область значений функции:

   Функция возрастает при (x \in (-\infty; 1))

   Функция убывает при (x \in (1; +\infty))

   Область значений функции: (y \in (-\infty; 9])