1. Постройте график функции: 1) y = x² + 6x + 5; 2) y = -x² + 2x + 8; 3) y = 1/2x²+x-8; 4) y = 3x²-6x + 3;

Построим графики заданных функций. Все они являются квадратичными функциями, графиками которых являются параболы.

1) $$y = x^2 + 6x + 5$$

Найдем вершину параболы по формуле $$x_в = -\frac{b}{2a}$$, где a = 1, b = 6, c = 5.

$$x_в = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$$

$$y_в = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$$

Вершина параболы: (-3; -4). Ось симметрии: x = -3.

Найдем нули функции, решив уравнение $$x^2 + 6x + 5 = 0$$

По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -6, x_1 \cdot x_2 = 5$$

$$x_1 = -1, x_2 = -5$$

Нули функции: (-1; 0) и (-5; 0).

Точка пересечения с осью Oy: (0; 5).

2) $$y = -x^2 + 2x + 8$$

Найдем вершину параболы по формуле $$x_в = -\frac{b}{2a}$$, где a = -1, b = 2, c = 8.

$$x_в = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$$

$$y_в = -(1)^2 + 2 \cdot 1 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$$

Вершина параболы: (1; 9). Ось симметрии: x = 1.

Найдем нули функции, решив уравнение $$-x^2 + 2x + 8 = 0$$ или $$x^2 - 2x - 8 = 0$$

По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 2, x_1 \cdot x_2 = -8$$

$$x_1 = 4, x_2 = -2$$

Нули функции: (4; 0) и (-2; 0).

Точка пересечения с осью Oy: (0; 8).

3) $$y = \frac{1}{2}x^2 + x - 8$$

Найдем вершину параболы по формуле $$x_в = -\frac{b}{2a}$$, где a = 1/2, b = 1, c = -8.

$$x_в = -\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -1$$

$$y_в = \frac{1}{2}(-1)^2 + (-1) - 8 = \frac{1}{2} - 1 - 8 = -8.5$$

Вершина параболы: (-1; -8.5). Ось симметрии: x = -1.

Найдем нули функции, решив уравнение $$\frac{1}{2}x^2 + x - 8 = 0$$ или $$x^2 + 2x - 16 = 0$$

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 4 + 64 = 68$$

$$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{68}}{2} = \frac{-2 + 2\sqrt{17}}{2} = -1 + \sqrt{17} \approx 3.12$$

$$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{68}}{2} = \frac{-2 - 2\sqrt{17}}{2} = -1 - \sqrt{17} \approx -5.12$$

Нули функции: (3.12; 0) и (-5.12; 0).

Точка пересечения с осью Oy: (0; -8).

4) $$y = 3x^2 - 6x + 3$$

Найдем вершину параболы по формуле $$x_в = -\frac{b}{2a}$$, где a = 3, b = -6, c = 3.

$$x_в = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1$$

$$y_в = 3 \cdot (1)^2 - 6 \cdot 1 + 3 = 3 - 6 + 3 = 0$$

Вершина параболы: (1; 0). Ось симметрии: x = 1.

Найдем нули функции, решив уравнение $$3x^2 - 6x + 3 = 0$$ или $$x^2 - 2x + 1 = 0$$

$$(x - 1)^2 = 0$$

$$x = 1$$

Нуль функции: (1; 0).

Точка пересечения с осью Oy: (0; 3).

Ответ: графики построены выше.