Постройте график функции y = (0,25x^2 + x) * |x| / (x+4). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

Для построения графика функции \( y = \frac{(0.25x^2 + x) \cdot |x|}{x+4} \) и определения значений \( m \), при которых прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком, выполним следующие шаги:

1. Анализ функции:
   Функция имеет вид \( y = \frac{0.25x(x+4) \cdot |x|}{x+4} \).
   При \( x \neq -4 \) функция упрощается до \( y = 0.25x \cdot |x| \).
   При \( x = -4 \) функция не определена (вертикальная асимптота).
2. Рассмотрим два случая для \( |x| \):
   Случай 1: \( x \ge 0 \)
   \( |x| = x \)
   \( y = 0.25x \cdot x = 0.25x^2 \) (парабола, ветви вверх).
   На интервале \( [0, \infty) \), за исключением \( x=-4 \) (что не относится к этому интервалу), график совпадает с частью параболы \( y = 0.25x^2 \).
3. Случай 2: \( x < 0 \)
   \( |x| = -x \)
   \( y = 0.25x \cdot (-x) = -0.25x^2 \) (парабола, ветви вниз).
   На интервале \( (-\infty, 0) \), включая \( x=-4 \), график совпадает с частью параболы \( y = -0.25x^2 \).
4. Учёт точки разрыва:
   При \( x = -4 \) функция не определена. Найдём значение \( y \) для \( y = -0.25x^2 \) при \( x = -4 \): \( y = -0.25(-4)^2 = -0.25 \cdot 16 = -4 \).
   Таким образом, на графике функции будет выколотая точка в \( (-4, -4) \).
5. Построение графика:
   
   • При \( x \ge 0 \) строим часть параболы \( y = 0.25x^2 \) (ветви вверх).
   • При \( x < 0 \) строим часть параболы \( y = -0.25x^2 \) (ветви вниз), исключая точку \( (-4, -4) \).
6. Определение значений \( m \):
   Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия.
   Анализируя график, видим, что:
   
   • Для \( x \ge 0 \) (ветвь параболы \( y = 0.25x^2 \)), наименьшее значение \( y=0 \) при \( x=0 \). Все значения \( y \ge 0 \) пересекаются с графиком.
   • Для \( x < 0 \) (ветвь параболы \( y = -0.25x^2 \)), ветвь уходит вниз до \( -\infty \). Максимальное значение на этом интервале достигается перед точкой разрыва.
   • В точке \( x = -4 \) есть выколотая точка \( (-4, -4) \).
   • Рассмотрим значения \( y \) на интервале \( x < 0 \): \( y = -0.25x^2 \).
     Максимальное значение \( y \) на этом интервале достигается при \( x \to 0 \) (с отрицательной стороны), \( y \to 0 \).
     Значение \( y \) в точке разрыва \( x = -4 \) равно \( -4 \).
     Таким образом, диапазон значений \( y \) для \( x < 0 \) (исключая точку \( x=-4 \)) — это \( (-\infty, -4) \cup (-4, 0) \).

   Прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком, если значение \( m \) находится в промежутке, который не покрывается значениями \( y \) функции.

   Значения \( y \) функции: \( [0, \infty) \) (для \( x \ge 0 \)) и \( (-\infty, -4) \cup (-4, 0) \) (для \( x < 0 \)).

   Объединяя эти диапазоны, получаем область значений функции: \( (-\infty, -4) \cup [-4, 0) \cup [0, \infty) \) = \( (-\infty, \infty) \) за исключением точки \( y=-4 \).

   Следовательно, прямая \( y=m \) не будет иметь общих точек с графиком, если \( m = -4 \).

Ответ: прямая \( y=m \) не имеет с графиком ни одной общей точки при \( m = -4 \).