Постройте график функции y = (0,25x² + x) * |x| / (x+4). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

1. Построение графика функции:
• Функция задана как \( y = \frac{(0.25x^2 + x) \cdot |x|}{x+4} \).
• Рассмотрим два случая для \( |x| \):
• Случай 1: \( x \ge 0 \). Тогда \( |x| = x \). Функция принимает вид: \( y = \frac{(0.25x^2 + x) \cdot x}{x+4} = \frac{x^2(0.25x + 1)}{x+4} \).
• Случай 2: \( x < 0 \). Тогда \( |x| = -x \). Функция принимает вид: \( y = \frac{(0.25x^2 + x) \cdot (-x)}{x+4} = \frac{-x^2(0.25x + 1)}{x+4} \).
• Область определения: Знаменатель \( x+4 \) не должен быть равен нулю, то есть \( x
  e -4 \).
• Анализ поведения функции:
• При \( x \to \infty \), \( y \to \infty \).
• При \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \).
• Нули функции: \( 0.25x^2 + x = 0 \) ⇒ \( x(0.25x + 1) = 0 \) ⇒ \( x = 0 \) или \( 0.25x = -1 \) ⇒ \( x = -4 \). Так как \( x
  e -4 \), то \( x = 0 \) — единственный ноль функции.
• Особые точки: При \( x = -4 \) функция не определена.
• График: Построим график, учитывая поведение функции для \( x \ge 0 \) и \( x < 0 \), а также вертикальную асимптоту \( x = -4 \).
2. Определение значений m:
• Прямая \( y = m \) не имеет общих точек с графиком функции, если она проходит либо выше максимального значения функции на определенном участке, либо ниже минимального значения, либо в случаях, когда функция имеет разрывы или асимптоты.
• В данном случае, график функции имеет вид, который может пересекаться с любой горизонтальной прямой. Однако, необходимо внимательно проанализировать поведение функции у вертикальной асимптоты \( x = -4 \).
• Рассмотрим предел при \( x \to -4 \) с разных сторон:
• При \( x \to -4^+ \) (x приближается к -4 справа, например, -3.9): \( x+4 \to 0^+ \). \( 0.25x^2 + x = 0.25(-4)^2 + (-4) = 0.25(16) - 4 = 4 - 4 = 0 \). \( |x| = 4 \). \( y = \frac{(0.25x^2 + x) \cdot |x|}{x+4} \). При \( x \to -4 \), числитель стремится к \( 0 \times 4 = 0 \).
• Чтобы точнее определить поведение, разложим числитель: \( 0.25x^2 + x = x(0.25x + 1) = 0.25x(x+4) \).
• Тогда \( y = \frac{0.25x(x+4) \cdot |x|}{x+4} \).
• Для \( x < 0 \) и \( x
  e -4 \): \( y = \frac{0.25x(x+4) \cdot (-x)}{x+4} = -0.25x^2 \).
• Для \( x
  e -4 \) и \( x=0 \) (в точке x=0, |x|=x, т.е. случай x>=0): \( y = \frac{0.25x(x+4) \times x}{x+4} = 0.25x^2 \).
• Таким образом, функция упрощается:
• Для \( x
  e -4 \) и \( x > 0 \): \( y = 0.25x^2 \).
• Для \( x < 0 \) и \( x
  e -4 \): \( y = -0.25x^2 \).
• В точке \( x=0 \), оба выражения дают \( y=0 \).
• Построенный график будет состоять из двух парабол: \( y = 0.25x^2 \) для \( x > 0 \) и \( y = -0.25x^2 \) для \( x < 0 \) (кроме \( x = -4 \)).
• График функции \( y = -0.25x^2 \) для \( x < 0 \) имеет вид ветви параболы, направленной вниз. При \( x \to -4^- \), \( y \to -0.25(-4)^2 = -0.25(16) = -4 \).
• График функции \( y = 0.25x^2 \) для \( x > 0 \) имеет вид ветви параболы, направленной вверх.
• Прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком, если \( m \) находится ниже наименьшего значения, достигаемого функцией, или если \( m \) соответствует значению, которое функция не принимает.
• На участке \( x < 0 \), \( y = -0.25x^2 \). Максимальное значение на этом участке (ближе к 0) равно 0. Минимальное значение стремится к \( -\infty \). В точке \( x=-4 \) есть разрыв, и значение функции стремится к -4.
• На участке \( x > 0 \), \( y = 0.25x^2 \). Минимальное значение равно 0 (при \( x=0 \)), и функция стремится к \( +\infty \) при \( x \to +\infty \).
• Следовательно, наименьшее значение, которое функция стремится достичь, но не достигает из-за разрыва в \( x = -4 \) (для \( x<0 \)) есть \( -4 \).
• Таким образом, прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком, если \( m \) меньше или равно значению, которого функция не достигает на отрицательной части, то есть \( m \ngtr -4 \) (поскольку функция стремится к -4, но не достигает, и все значения меньше -4 отсутствуют).
• Рассмотрим внимательнее:
• На \( x > 0 \), \( y = 0.25x^2 \). Минимальное значение 0.
• На \( x < 0, x
  e -4 \), \( y = -0.25x^2 \). Функция убывает от 0 до \( -\infty \) при \( x < -4 \) и убывает от \( -4 \) (стремится) до 0 при \( -4 < x < 0 \).
• График функции для \( x < 0 \) представляет собой две ветви параболы \( y = -0.25x^2 \), разделенные разрывом в точке \( x=-4 \). Значение функции стремится к \( -4 \) при \( x \to -4 \).
• Следовательно, функция принимает все значения \( y < 0 \), кроме \( y = -4 \) (которое не достигается).
• Прямая \( y=m \) не имеет общих точек, если \( m \) находится в области значений, которые функция не принимает.
• Функция принимает значения \( [0, ) \) для \( x > 0 \) и \( (-, -4) \cup \; (-4, 0) \) для \( x < 0 \).
• Объединяя, функция принимает значения \( (-, -4) \cup \; (-4, ) \).
• Прямая \( y=m \) не будет иметь общих точек, если \( m = -4 \).

Ответ: m = -4.