Постройте график функции y = ((0,75x^2 – 0,75x) * |x|) / (x - 1). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Дано:

• Функция: \[ y = \frac{(0.75x^2 - 0.75x) \cdot |x|}{x - 1} \]
• Прямая: y = m

Задача: Найти значения m, при которых прямая y = m не имеет общих точек с графиком функции.

Решение:

1. Анализ функции:
• Область определения: x ≠ 1.
• Разделим функцию на две части в зависимости от знака x:
• При x ≥ 0: \[ y = \frac{0.75x(x - 1) \cdot x}{x - 1} = 0.75x^2 \] (при x ≥ 0, x ≠ 1)
• При x < 0: \[ y = \frac{0.75x(x - 1) −x}{x - 1} = -0.75x^2 \] (при x < 0)
2. Построение графика:
• Для x ≥ 0, x ≠ 1 строим параболу y = 0.75x^2. В точке x = 1 будет вертикальная асимптота (или выколотая точка, если бы не сокращение). Однако, поскольку x - 1 сокращается, на самом деле в точке x = 1 будет выколотая точка, значение функции стремится к 0.75 * 1^2 = 0.75.
• Для x < 0 строим параболу y = -0.75x^2.
• График функции будет состоять из двух ветвей парабол, зеркально отраженных относительно оси y.
3. Анализ пересечений с прямой y = m:
• Мы ищем значения m, при которых прямая y = m не пересекает график.
• Рассмотрим значения функции:
• Ветвь для x ≥ 0, x ≠ 1: y = 0.75x^2. Минимум в точке (0, 0). При x → 1, y → 0.75. При x → ∞, y → ∞. Диапазон значений: [0, ∞), кроме значения 0.75 при x=1.
• Ветвь для x < 0: y = -0.75x^2. Максимум в точке (0, 0). При x → -∞, y → -∞. Диапазон значений: (-∞, 0].
• Объединяя диапазоны, видим, что график функции принимает значения от -∞ до 0 (включительно) и от 0 до ∞ (исключая 0.75).
• Прямая y = m не будет иметь общих точек с графиком, если m находится в интервале, который не покрывается значениями функции.
• Интервалы значений функции: (-∞, 0] ∪ [0, 0.75) ∪ (0.75, ∞).
• Значение m = 0.75 отсутствует на графике в точке x=1.
• Значение m = 0 достигается при x=0.
• Таким образом, прямая y = m не имеет общих точек с графиком, если m = 0.75.

Проверка вариантов:

• m > 3: Такая прямая будет пересекать график.
• m = -2: Такая прямая будет пересекать график (в области x < 0).
• m = 0,75: Прямая y = 0.75 не имеет общих точек с графиком, так как значение 0.75 не достигается функцией (в точке x = 1 происходит разрыв).
• m = 0: Прямая y = 0 пересекает график в точке (0, 0).
• m = 1: Такая прямая будет пересекать график.

Ответ: m = 0,75