Постройте график функции y = -2 - (x+4)/(x^2+4x). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком общих точек.

Решение:

1. Преобразуем функцию:

\( y = -2 - \frac{x+4}{x^2+4x} = -2 - \frac{x+4}{x(x+4)} \)

Область определения функции: \( x \neq 0 \) и \( x \neq -4 \).

При \( x \neq -4 \) функция принимает вид:

\( y = -2 - \frac{1}{x} = -\frac{2x+1}{x} \)

Таким образом, график функции — это гипербола \( y = -\frac{2x+1}{x} \) с выколотой точкой в \( x = -4 \).

Найдем значение y в точке \( x = -4 \):

\( y = -\frac{2(-4)+1}{-4} = -\frac{-8+1}{-4} = -\frac{-7}{-4} = -\frac{7}{4} \)

Выколотая точка имеет координаты \( (-4; -\frac{7}{4}) \).

2. Построим график функции \( y = -\frac{2x+1}{x} = -2 - \frac{1}{x} \).

Это гипербола с асимптотами \( x = 0 \) (ось y) и \( y = -2 \).

Точки для построения:

• Если \( x = -1 \), то \( y = -2 - \frac{1}{-1} = -2 + 1 = -1 \). Точка: (-1, -1).
• Если \( x = -2 \), то \( y = -2 - \frac{1}{-2} = -2 + 0.5 = -1.5 \). Точка: (-2, -1.5).
• Если \( x = 1 \), то \( y = -2 - \frac{1}{1} = -2 - 1 = -3 \). Точка: (1, -3).
• Если \( x = 2 \), то \( y = -2 - \frac{1}{2} = -2 - 0.5 = -2.5 \). Точка: (2, -2.5).

На графике будет выколота точка \( (-4; -1.75) \).

3. Найдем значения m, при которых прямая \( y = m \) не имеет общих точек с графиком.

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Она не будет иметь общих точек с графиком, если ее значение совпадает со значением выколотой точки, то есть \( m = -\frac{7}{4} \).

Также, если \( m = -2 \) (значение горизонтальной асимптоты), прямая \( y = m \) не пересекает ветви гиперболы, но это значение является асимптотой, а не значением функции.

Следовательно, прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком функции, если \( m \) равно значению y выколотой точки.

\( m = -\frac{7}{4} = -1.75 \)

Ответ: прямая \( y = m \) не имеет с графиком общих точек при \( m = -\frac{7}{4} \) (или \( m = -1.75 \)).