Постройте график функции y = { 2-|x| при x≤4, -x²+10x - 25 при x>4. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Привет! Давай разберемся с этим заданием пошагово.

Шаг 1: Строим график функции.

У нас есть кусочно-заданная функция, поэтому будем строить каждую часть отдельно.

Часть 1: y = 2 - |x| при x ≤ 4

Раскроем модуль:

• Если x ≥ 0, то y = 2 - x. Это прямая линия.
• Если x < 0, то y = 2 - (-x) = 2 + x. Это тоже прямая линия.

Построим эту часть:

• При x = 0, y = 2. Точка (0, 2).
• При x = 4, y = 2 - 4 = -2. Точка (4, -2).
• При x = -4, y = 2 - (-4) = 6. Точка (-4, 6).

Часть 2: y = -x² + 10x - 25 при x > 4

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

• x_{вершины} = -b / (2a) = -10 / (2 * -1) = 5.
• y_{вершины} = -(5)² + 10*5 - 25 = -25 + 50 - 25 = 0. Вершина параболы находится в точке (5, 0).

Найдем значение функции в точке x=4 (хотя она не входит в область, это поможет нам построить график):

• y = -(4)² + 10*4 - 25 = -16 + 40 - 25 = -1. Точка (4, -1).

Собираем график:

Первая часть функции (y = 2 - |x|) имеет вид "домика" с вершиной в (0, 2) и идет до x=4. В точке x=4 значение y=-2.

Вторая часть функции (y = -x² + 10x - 25) начинается при x > 4. У нее вершина в (5, 0). В точке x=4 значение y=-1. Таким образом, эта часть параболы будет продолжаться от точки (4, -1) (не включая ее) и дальше.

(Здесь должен быть визуальный график, который я не могу отобразить, но представь себе "домик" слева от оси Y, продолжающийся до x=4, и часть параболы справа от x=4 с вершиной в точке (5,0)).

Шаг 2: Определяем значения m, при которых прямая y=m пересекает график ровно три раза.

Прямая y=m — это горизонтальная линия. Нам нужно найти такие значения m, чтобы эта линия пересекала построенный нами график в трех точках.

Рассмотрим ключевые точки графика:

• Вершина "домика" первой части: (0, 2).
• Конечная точка первой части: (4, -2).
• Вершина параболы второй части: (5, 0).
• Начальная точка второй части (при x=4): (4, -1).

Анализируем, как горизонтальная линия y=m будет пересекать график:

• Если m > 2, линия не пересечет "домик", только параболу (1 точка).
• Если m = 2, линия пройдет через вершину "домика" (1 точка) и пересечет параболу (1 точка). Итого 2 точки.
• Если 0 < m < 2, линия пересечет "домик" дважды и параболу один раз. Итого 3 точки!
• Если m = 0, линия пройдет через вершину параболы (1 точка) и пересечет "домик" дважды. Итого 3 точки!
• Если -1 < m < 0, линия пересечет "домик" дважды и параболу один раз. Итого 3 точки!
• Если m = -1, линия пройдет через точку (4, -1) (на параболе) и пересечет "домик" дважды. Итого 3 точки!
• Если -2 < m < -1, линия пересечет "домик" дважды и параболу один раз. Итого 3 точки!
• Если m = -2, линия пройдет через конечную точку "домика" (4, -2) и пересечет параболу один раз. Итого 2 точки.
• Если m < -2, линия не пересечет "домик", только параболу (1 точка).

Итак, три точки пересечения получаются, когда:

• 0 < m < 2
• m = 0
• -1 < m < 0
• m = -1
• -2 < m < -1

Объединяя эти интервалы, получаем:

• 0 < m < 2
• -2 < m ≤ 0
• -1 ≤ m < 0 (уже учтено в -2 < m <= 0)
• -1 < m < -1 (ошибка в рассуждении, вернемся)

Давай более аккуратно:

1. m > 2: 1 точка (на параболе).
2. m = 2: 2 точки (вершина "домика" (0,2) и на параболе).
3. 0 < m < 2: 3 точки (2 на "домике", 1 на параболе).
4. m = 0: 3 точки (2 на "домике", 1 вершина параболы (5,0)).
5. -1 < m < 0: 3 точки (2 на "домике", 1 на параболе).
6. m = -1: 3 точки (2 на "домике", 1 точка на параболе (4, -1)).
7. -2 < m < -1: 3 точки (2 на "домике", 1 на параболе).
8. m = -2: 2 точки (конечная точка "домика" (4,-2) и на параболе).
9. m < -2: 1 точка (на параболе).

Смотрим, где получается ровно три точки:

• 0 < m < 2
• m = 0
• -1 < m < 0
• m = -1
• -2 < m < -1

Объединяем эти интервалы:

• От -2 до 0 (не включая -2, включая 0): -2 < m ≤ 0
• От -1 до 2 (не включая -1, не включая 2): -1 < m < 2

Объединяя -2 < m ≤ 0 и -1 < m < 2, мы получаем:

• -2 < m ≤ 0
• -1 < m < 2

Проверим еще раз:

Вершина параболы: (5, 0)

Точки на границе: (4, -2) для первой части, (4, -1) для второй части.

График первой части y = 2-|x| для x ≤ 4:

• Пик в (0, 2).
• Ветви вниз: (1, 1), (2, 0), (3, -1), (4, -2).
• Левая ветвь: (-1, 1), (-2, 0), (-3, -1), (-4, -2).

График второй части y = -x² + 10x - 25 для x > 4:

• Вершина (5, 0).
• Значение при x=4: -1. Точка (4, -1), но не включена.
• Значение при x=6: -(6)² + 10*6 - 25 = -36 + 60 - 25 = -1. Точка (6, -1).

Теперь посмотрим на y=m:

• m = 2: 1 точка (0,2)
• 0 < m < 2: 3 точки (2 на "домике", 1 на параболе)
• m = 0: 3 точки (2 на "домике", 1 на параболе - вершина (5,0))
• -1 < m < 0: 3 точки (2 на "домике", 1 на параболе)
• m = -1: 3 точки (2 на "домике" (3,-1) и (-3,-1), 1 на параболе - (4,-1) и (6,-1) - обе точки на параболе, но нам нужно ровно 3!)

Вот тут и кроется подвох. При m=-1, прямая y=-1 пересекает "домик" в двух точках (3, -1) и (-3, -1). Она также пересекает параболу в двух точках: x=4 и x=6. Итого 4 точки! Значит, m=-1 не подходит.

Снова вернемся к анализу:

• m = 2: 1 точка (0,2)
• 0 < m < 2: 3 точки (2 на "домике", 1 на параболе). Подходит!
• m = 0: 3 точки (2 на "домике", 1 вершина параболы (5,0)). Подходит!
• -1 < m < 0: 3 точки (2 на "домике", 1 на параболе). Подходит!
• m = -1: 4 точки (2 на "домике", 2 на параболе). Не подходит.
• -2 < m < -1: 3 точки (2 на "домике", 1 на параболе). Подходит!
• m = -2: 2 точки (4,-2) и точка на параболе.
• m < -2: 1 точка (на параболе).

Объединяя подходящие интервалы:

• (0, 2)
• [0, 0] (т.е. m=0)
• (-1, 0)
• (-2, -1)

Объединяем: (-2, -1) ∪ (-1, 0) ∪ {0} ∪ (0, 2) = (-2, 2).

Но надо быть внимательнее с границами.

Прямая y=m имеет ровно три общие точки с графиком, когда:

1. 0 < m < 2: пересекает "домик" в двух точках, параболу в одной.
2. m = 0: пересекает "домик" в двух точках, параболу в одной (вершине).
3. -1 < m < 0: пересекает "домик" в двух точках, параболу в одной.
4. -2 < m < -1: пересекает "домик" в двух точках, параболу в одной.

Таким образом, значения m, при которых прямая y=m имеет ровно три общие точки с графиком, это:

(-2, 0] ∪ (0, 2)

Перепишем это более понятным языком:

m находится в интервале от -2 до 0 (не включая -2, но включая 0), ИЛИ m находится в интервале от 0 до 2 (не включая 0 и не включая 2).

Объединяя эти интервалы:

(-2, 2), но исключая m=0 и m=-1. Потому что при m=0 есть 3 точки, а при m=-1 есть 4 точки. При m=0 - 3 точки, верно. При m=-1 - 4 точки.

Анализ еще раз:

y = 2 - |x|, x ≤ 4

y = -x² + 10x - 25, x > 4

График:

y=2-|x|: (0,2) - вершина; (±1, 1); (±2, 0); (±3, -1); (±4, -2).

y=-x²+10x-25: вершина (5,0). На x=4: y=-1. На x=6: y=-1. На x=3: y=-(3)²+10(3)-25 = -9+30-25 = -4.

Смотрим на пересечения y=m:

• m > 2: 1 точка (на параболе).
• m = 2: 1 точка (0,2).
• 0 < m < 2: 3 точки (2 на "домике", 1 на параболе). Входит.
• m = 0: 3 точки (2 на "домике", 1 вершина параболы (5,0)). Входит.
• -1 < m < 0: 3 точки (2 на "домике", 1 на параболе). Входит.
• m = -1: 4 точки (2 на "домике", 2 на параболе: x=4 и x=6). НЕ входит.
• -2 < m < -1: 3 точки (2 на "домике", 1 на параболе). Входит.
• m = -2: 2 точки (4,-2) и 1 на параболе.
• m < -2: 1 точка (на параболе).

Следовательно, m должно быть в интервалах:

• (0, 2)
• {0}
• (-1, 0)
• (-2, -1)

Объединяем:

(-2, -1) ∪ (-1, 0] ∪ (0, 2)

Это можно записать как (-2, 2) {-1}. То есть, все значения от -2 до 2, кроме -1.

Ответ: (-2, -1) ∪ (-1, 0] ∪ (0, 2)