Постройте график функции y = |2x - 1| - x^2.

Решение:

Для построения графика функции \( y = |2x - 1| - x^2 \) сначала раскроем модуль.

1. Если \( 2x - 1 \ge 0 \), то есть \( x \ge \frac{1}{2} \), то \( |2x - 1| = 2x - 1 \).

В этом случае функция принимает вид: \( y = (2x - 1) - x^2 = -x^2 + 2x - 1 \).

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

\( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1 \).

\( y_в = -(1)^2 + 2(1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0 \).

Вершина находится в точке (1, 0). При \( x = \frac{1}{2} \), \( y = -(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) - 1 = -\frac{1}{4} + 1 - 1 = -\frac{1}{4} \).

2. Если \( 2x - 1 < 0 \), то есть \( x < \frac{1}{2} \), то \( |2x - 1| = -(2x - 1) = 1 - 2x \).

В этом случае функция принимает вид: \( y = (1 - 2x) - x^2 = -x^2 - 2x + 1 \).

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

\( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(-1)} = -1 \).

\( y_в = -(-1)^2 - 2(-1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2 \).

Вершина находится в точке (-1, 2). При \( x = \frac{1}{2} \), \( y = -(\frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{2}) + 1 = -\frac{1}{4} - 1 + 1 = -\frac{1}{4} \).

График будет состоять из двух частей парабол, соединенных в точке \( (\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}) \).

Ответ: график функции \( y = |2x - 1| - x^2 \) состоит из двух частей парабол.