Постройте график функции \(y=2x+4|x|-x^2\) и определите, при каких значениях \(c\) прямая \(y=c\) имеет с графиком ровно три общие точки.

При раскрытии модуля получаем:

Если \(x<0\), то \(y=-x^2-2x=1-(x+1)^2\). Если \(x\geq 0\), то \(y=-x^2+6x=9-(x-3)^2\).

График состоит из двух ветвей парабол: левая имеет вершину \((-1;1)\) и задана при \(x<0\), правая — вершину \((3;9)\) и задана при \(x\geq0\). В точке \((0;0)\) график принадлежит правой ветви.

Для горизонтальной прямой считаем пересечения с каждой ветвью. При \(c=0\) левая ветвь пересекается с ней в одной точке \((-2;0)\), правая — в двух точках \((0;0)\) и \((6;0)\): всего три.

При \(c=1\) левая ветвь касается прямой в вершине \((-1;1)\), а правая пересекает её в двух точках: всего три. При \(0<c<1\) пересечений четыре; при остальных значениях \(c\) их не ровно три.

Ответ: \(c=0\) или \(c=1\).