Постройте график функции y = -2x² + 4x + 6. С помощью графика определите: а) значение функции при х = -2; 0; 3; б) значения аргумента, если у = -10; 6; 0; в) наибольшее значение функции; г) промежутки возрастания и убывания функции; д) значения аргумента, при которых у > 0, y < 0.

Решение:

Дана квадратичная функция $$y = -2x^2 + 4x + 6$$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный (-2).

1. Находим вершину параболы:
   Координата x вершины находится по формуле $$x_в = \frac{-b}{2a}$$.
   \[ x_в = \frac{-4}{2 \times (-2)} = \frac{-4}{-4} = 1 \]
   Теперь найдем координату y вершины, подставив $$x_в$$ в уравнение функции:
   \[ y_в = -2(1)^2 + 4(1) + 6 = -2 + 4 + 6 = 8 \]
   Вершина параболы находится в точке (1; 8).
2. Находим точки пересечения с осями:
   С осью y: Подставляем $$x=0$$.
   \[ y = -2(0)^2 + 4(0) + 6 = 6 \]
   Точка пересечения с осью y: (0; 6).
   С осью x: Подставляем $$y=0$$ и решаем квадратное уравнение.
   \[ -2x^2 + 4x + 6 = 0 \]
   Разделим на -2:
   \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
   Используем дискриминант $$D = b^2 - 4ac$$:
   \[ D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \]
   Находим корни:
   \[ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
   \[ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
   Точки пересечения с осью x: (-1; 0) и (3; 0).
3. Строим график:
   Отмечаем вершину (1; 8) и точки пересечения с осями (-1; 0), (3; 0), (0; 6). Так как ветви параболы направлены вниз, соединяем точки плавной кривой.
   

Ответы на вопросы:

1. а) Значение функции при x = -2; 0; 3:
   При $$x = -2$$: $$y = -2(-2)^2 + 4(-2) + 6 = -2(4) - 8 + 6 = -8 - 8 + 6 = -10$$.
   При $$x = 0$$: $$y = -2(0)^2 + 4(0) + 6 = 6$$.
   При $$x = 3$$: $$y = -2(3)^2 + 4(3) + 6 = -2(9) + 12 + 6 = -18 + 12 + 6 = 0$$.
   Ответ: -10; 6; 0.


2. б) Значения аргумента, если y = -10; 6; 0:
   При $$y = -10$$: Мы уже нашли, что при $$x = -2$$, $$y = -10$$.
   \[ -2x^2 + 4x + 6 = -10 \]\[ -2x^2 + 4x + 16 = 0 \]\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]
   $$D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36$$.
   \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \]
   \[ x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \], $$x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2$$.
   При $$y = 6$$: Мы уже нашли, что при $$x = 0$$, $$y = 6$$.
   \[ -2x^2 + 4x + 6 = 6 \]\[ -2x^2 + 4x = 0 \]\[ -2x(x - 2) = 0 \]
   $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 2$$.
   При $$y = 0$$: Мы уже нашли, что при $$x = -1$$ и $$x = 3$$, $$y = 0$$.
   Ответ: для y = -10: x = -2; 4; для y = 6: x = 0; 2; для y = 0: x = -1; 3.


3. в) Наибольшее значение функции:
   Так как ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функции достигается в вершине параболы. Наибольшее значение y = 8.
   Ответ: 8.


4. г) Промежутки возрастания и убывания функции:
   Функция возрастает до вершины параболы (до $$x_в = 1$$) и убывает после вершины.
   Ответ: Функция возрастает на промежутке $$(-\infty; 1]$$, убывает на промежутке $$[1; +\infty)$$.


5. д) Значения аргумента, при которых y > 0, y < 0:
   y > 0: Функция положительна между корнями, то есть при $$-1 < x < 3$$.
   y < 0: Функция отрицательна вне корней, то есть при $$x < -1$$ или $$x > 3$$.
   Ответ: y > 0 при $$x \in (-1; 3)$$; y < 0 при $$x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$$.