Постройте график функции y = { 3x-3, при x < 2, -3x+8,5, при 2 ≤ x ≤ 3, 3,5x-11, при x > 3. a) m? y=m две общие точки?

Решение:

Данная функция является кусочно-линейной. Для построения графика найдем значения функции в характерных точках:

• При \(x < 2\): \(y = 3x - 3\). Это прямая. При \(x = 2\), \(y = 3(2) - 3 = 3\). Точка (2, 3) — начало луча.
• При \(2 \le x \le 3\): \(y = -3x + 8.5\). Это отрезок. При \(x = 2\), \(y = -3(2) + 8.5 = -6 + 8.5 = 2.5\). Точка (2, 2.5). При \(x = 3\), \(y = -3(3) + 8.5 = -9 + 8.5 = -0.5\). Точка (3, -0.5).
• При \(x > 3\): \(y = 3.5x - 11\). Это луч. При \(x = 3\), \(y = 3.5(3) - 11 = 10.5 - 11 = -0.5\). Точка (3, -0.5) — начало луча.

Теперь построим график, соединив полученные точки.

a) m? y=m две общие точки?

Прямая \(y=m\) — это горизонтальная прямая. Чтобы она имела две общие точки с графиком данной функции, она должна пересекать его в двух различных местах.

Анализируя график:

• Луч \(y = 3x - 3\) для \(x < 2\) идет от \(-\infty\) до \(y=3\) (не включая точку (2,3)).
• Отрезок \(y = -3x + 8.5\) для \(2 \le x \le 3\) идет от \(y=2.5\) до \(y=-0.5\) (включая обе точки).
• Луч \(y = 3.5x - 11\) для \(x > 3\) идет от \(y=-0.5\) до \(+\infty\) (не включая точку (3,-0.5)).

Рассмотрим интервалы:

• Если \(y = m\) находится между максимальным значением первого луча (точка (2,3) не включена) и началом второго отрезка (точка (2,2.5) включена), то есть \(2.5 \le m < 3\), то прямая \(y=m\) будет иметь две общие точки (одну с первым лучом, одну со вторым отрезком).
• Если \(y = m\) находится между значением конца второго отрезка (точка (3,-0.5) включена) и началом третьего луча (точка (3,-0.5) не включена), то есть \(m = -0.5\), то прямая \(y=m\) будет иметь две общие точки (одну с вторым отрезком, одну с третьим лучом).

Однако, в условии задания есть ошибка. В первом луче при \(x=2\) значение \(y=3*2-3=3\). Во втором отрезке при \(x=2\) значение \(y=-3*2+8.5=2.5\). Из-за разрыва в точке \(x=2\) (значение 3 не включается, а 2.5 включается), прямая \(y=m\) может иметь максимум две общие точки. Если \(2.5 \le m < 3\), то одна точка с первым лучом, одна со вторым отрезком. Если \(m=-0.5\), то одна точка со вторым отрезком и одна с третьим лучом. Таким образом, чтобы было ровно две общие точки, \(m\) должно быть в интервале \([2.5, 3)\) или равно \(-0.5\).

Учитывая, что в начале второго отрезка \(y=2.5\) (включительно) и конец первого луча стремится к \(y=3\) (не включительно), и конец второго отрезка \(y=-0.5\) (включительно) и начало третьего луча стремится к \(y=-0.5\) (не включительно), то условие 'две общие точки' выполняется для \(m \in [2.5, 3) \cup \{-0.5\}.