Постройте график функции \(y = -4 - \frac{x + 1}{x^2 + x}\) Определите, при каких значениях параметра \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком общих точек.

Решение:

Сначала преобразуем функцию:

\( y = -4 - \frac{x + 1}{x(x + 1)} \)

При \( x \neq -1 \) и \( x \neq 0 \), функция упрощается:

\( y = -4 - \frac{1}{x} \)

График этой функции — гипербола \( y = -\frac{1}{x} \) со смещенным началом координат в точку \( (0, -4) \).

Рассмотрим ограничения:

• При \( x = -1 \), значение функции не определено. Подставим \( x = -1 \) в исходное выражение, чтобы найти значение \(y\), соответствующее этой точке, если бы она была определена: \( y = -4 - \frac{-1 + 1}{(-1)^2 + (-1)} = -4 - \frac{0}{0} \). Это неопределённость. Однако, если рассмотреть предел при \( x \to -1 \): \( \lim_{x \to -1} (-4 - \frac{1}{x}) = -4 - \frac{1}{-1} = -4 + 1 = -3 \). Таким образом, в точке \( x = -1 \) есть «выколотая» точка с координатой \( y = -3 \).
• При \( x = 0 \), знаменатель \( x^2 + x \) равен нулю, поэтому функция не определена. Вертикальная асимптота — \( x = 0 \).

График функции \( y = -4 - \frac{1}{x} \) имеет две ветви. Горизонтальная асимптота — \( y = -4 \).

Прямая \( y = m \) не имеет общих точек с графиком, если она совпадает с горизонтальной асимптотой или проходит через «выколотую» точку.

Следовательно, \( m = -4 \) (горизонтальная асимптота) или \( m = -3 \) (значение \(y\) в «выколотой» точке).

Ответ: \( m \(\in\) \{ -4 \} \(\cup\) \{ -3 \}.