Постройте график функции y = -4 - (x+1)/(x^2+x). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком общих точек.

Разберем задачу по шагам:

1. Анализ функции:

   Для начала упростим функцию:

   \[ y = -4 - \frac{x+1}{x(x+1)} \]

   Обратите внимание, что знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому x ≠ 0 и x ≠ -1. Если x ≠ -1, то дробь сокращается:

   \[ y = -4 - \frac{1}{x} \]

   Таким образом, график функции представляет собой гиперболу y = -1/x, смещенную на 4 единицы вниз. Также у графика есть «выколотая» точка при x = -1.

2. Нахождение координат «выколотой» точки:

   Подставим x = -1 в упрощенное уравнение:

   \[ y = -4 - \frac{1}{-1} = -4 - (-1) = -4 + 1 = -3 \]

   Значит, «выколотая» точка имеет координаты (-1, -3).

3. Анализ прямой y = m:

   Прямая y = m — это горизонтальная линия. Нас интересует, при каких значениях m эта линия не будет иметь общих точек с графиком функции.

4. Определение значений m:

   График функции y = -4 - 1/x имеет две ветви гиперболы. Горизонтальная линия y = m не будет иметь общих точек с графиком, если:

   • Она проходит через «выколотую» точку. То есть, если m равно ординате этой точки.
   • m = -3

   Также важно учесть асимптоты. У гиперболы y = -1/x есть горизонтальная асимптота y = 0. После смещения на -4, горизонтальная асимптота становится y = -4. Если прямая y = m совпадает с этой асимптотой, то точек пересечения не будет.

   m = -4

Итог:

Прямая y = m не будет иметь общих точек с графиком, когда m = -3 (из-за «выколотой» точки) и m = -4 (из-за горизонтальной асимптоты).

Ответ: m = -3, m = -4