Постройте график функции y = (4x+3)/(4x^2+3x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Краткое пояснение:

Анализ функции:

Заданная функция: \( y = \frac{4x+3}{4x^2+3x} \).

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

• \( 4x^2 + 3x
  eq 0 \)
• \( x(4x+3)
  eq 0 \)
• \( x
  eq 0 \) и \( x
  eq -\frac{3}{4} \)

Область определения: \( D(y) = (-\infty; -\frac{3}{4}) \cup (-\frac{3}{4}; 0) \cup (0; \infty) \).

Упростим функцию, если это возможно. Заметим, что в числителе нет общего множителя с знаменателем, кроме константы.

Поиск общих точек с прямой y = kx:

Приравниваем функцию к прямой:

• \[ \frac{4x+3}{4x^2+3x} = kx \]

Умножим обе части на знаменатель (учитывая ограничения):

• \[ 4x+3 = kx(4x^2+3x) \]
• \[ 4x+3 = 4kx^3 + 3kx^2 \]
• \[ 4kx^3 + 3kx^2 - 4x - 3 = 0 \]

Нам нужно найти значения \( k \), при которых это уравнение имеет ровно одно решение, не равное 0 и -3/4.

Анализ уравнения:

Рассмотрим уравнение \( 4kx^3 + 3kx^2 - 4x - 3 = 0 \).

Сгруппируем члены:

• \[ kx^2(4x+3) - (4x+3) = 0 \]
• \[ (kx^2 - 1)(4x+3) = 0 \]

Это уравнение распадается на два:

1. \( 4x+3 = 0 \) => \( x = -\frac{3}{4} \). Однако, \( x = -\frac{3}{4} \) не входит в область определения функции.
2. \( kx^2 - 1 = 0 \) => \( kx^2 = 1 \)

Из второго уравнения:

• Если \( k=0 \), то \( -1=0 \), что не имеет решений.
• Если \( k
  eq 0 \), то \( x^2 = \frac{1}{k} \).

Это уравнение имеет решения только при \( k > 0 \).

При \( k > 0 \), имеем два решения: \( x = \sqrt{\frac{1}{k}} \) и \( x = -\sqrt{\frac{1}{k}} \).

Теперь нужно учесть ограничения области определения: \( x
eq 0 \) и \( x
eq -\frac{3}{4} \).

\( x = \sqrt{\frac{1}{k}} \) никогда не равно 0.

\( x = -\sqrt{\frac{1}{k}} \) никогда не равно 0.

Нам нужно, чтобы из этих двух решений только одно не попадало в исключенные значения, или чтобы оба решения были допустимы, но одно из них было бы равно 0 или -3/4.

Случай 1: Одно из решений совпадает с исключенными значениями.

1. \( x = 0 \): \( kx^2 = 1 \) никогда не даст \( x=0 \).

2. \( x = -\frac{3}{4} \):

• \( k(-\frac{3}{4})^2 = 1 \)
• \( k(\frac{9}{16}) = 1 \)
• \( k = \frac{16}{9} \)

Если \( k = \frac{16}{9} \), то уравнение \( kx^2 - 1 = 0 \) имеет решения \( x^2 = \frac{9}{16} \), то есть \( x = \frac{3}{4} \) и \( x = -\frac{3}{4} \).

В этом случае, \( x = -\frac{3}{4} \) не является допустимым решением исходной функции. Следовательно, остается только одно допустимое решение \( x = \frac{3}{4} \).

Случай 2: Одно из решений \( x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}} \) равно 0.

Это невозможно, так как \( \sqrt{\frac{1}{k}} > 0 \) для \( k > 0 \).

Случай 3: Уравнение \( kx^2 - 1 = 0 \) имеет ровно одно решение.

Это происходит, когда \( k=0 \), но мы уже исключили этот случай. Или когда \( x^2 = 0 \), что также невозможно.

Рассмотрим случай k < 0:

Если \( k < 0 \), то \( x^2 = \frac{1}{k} \) не имеет действительных решений. В этом случае, исходное уравнение \( (kx^2 - 1)(4x+3) = 0 \) будет иметь только одно решение \( x = -\frac{3}{4} \). Но это значение исключено из области определения. Значит, при \( k < 0 \) нет общих точек.

Итак, единственное значение \( k \), при котором уравнение \( kx^2 - 1 = 0 \) дает ровно одно допустимое решение, это \( k = \frac{16}{9} \).

График функции:

Функция имеет вертикальную асимптоту \( x=0 \) и \( x=-\frac{3}{4} \).

Преобразуем функцию: \( y = \frac{4x+3}{x(4x+3)} \). При \( x
eq -\frac{3}{4} \) и \( x
eq 0 \), функция равна \( y = \frac{1}{x} \).

Таким образом, график функции \( y = \frac{4x+3}{4x^2+3x} \) совпадает с графиком функции \( y = \frac{1}{x} \), за исключением точек \( x=0 \) (где \( y = \frac{1}{x} \) имеет разрыв) и \( x = -\frac{3}{4} \) (где исходная функция не определена).

График функции \( y = \frac{1}{x} \) — это гипербола. Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат (0,0).

Нам нужно найти \( k \), при которых прямая \( y = kx \) пересекает график \( y = \frac{1}{x} \) (с учетом исключенных точек) ровно один раз.

Пересечение \( \frac{1}{x} = kx \) => \( 1 = kx^2 \) => \( x^2 = \frac{1}{k} \).

Для \( k > 0 \), есть два решения \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{k}} \).

Мы должны исключить случаи, когда одно из этих решений равно \( x=0 \) (невозможно) или \( x = -\frac{3}{4} \).

Если \( x = -\frac{3}{4} \), то \( (-\frac{3}{4})^2 = \frac{1}{k} \) => \( \frac{9}{16} = \frac{1}{k} \) => \( k = \frac{16}{9} \).

При \( k = \frac{16}{9} \), имеем \( x^2 = \frac{9}{16} \), что дает \( x = \frac{3}{4} \) и \( x = -\frac{3}{4} \). Поскольку \( x = -\frac{3}{4} \) исключено, остается только одно решение \( x = \frac{3}{4} \).

Если \( k < 0 \), то \( x^2 = \frac{1}{k} \) не имеет решений. В этом случае нет пересечений с \( y = \frac{1}{x} \).

График:

Важно: График функции \( y = \frac{4x+3}{4x^2+3x} \) совпадает с графиком \( y = \frac{1}{x} \) при \( x
eq 0 \) и \( x
eq -\frac{3}{4} \). При \( x = -\frac{3}{4} \) есть разрыв.

При \( k = \frac{16}{9} \) прямая \( y = kx \) пересекает график \( y = \frac{1}{x} \) в двух точках: \( x = \frac{3}{4} \) и \( x = -\frac{3}{4} \). Однако, точка \( x = -\frac{3}{4} \) является устранимым разрывом для исходной функции. Следовательно, прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком функции при \( k = \frac{16}{9} \).

Если бы функция была просто \( y = \frac{1}{x} \), то прямая \( y = kx \) пересекала бы ее в двух точках для \( k>0 \), в одной точке (касательная в бесконечности) если бы \( k \to 0 \) (но это не так) или не пересекала вовсе.

Финальный анализ:

Уравнение \( (kx^2 - 1)(4x+3) = 0 \) дает корни \( x = -3/4 \) и \( x = ± 1/√ k \) (при \( k > 0 \)).

Так как \( x = -3/4 \) не входит в область определения, то мы рассматриваем только корни \( x = ± 1/√ k \).

Чтобы было ровно одно решение, одно из значений \( x = ± 1/√ k \) должно совпадать с \( x = -3/4 \), что уже невозможно, или \( k \) должно быть таким, чтобы \( x^2 = 1/k \) имело только одно решение, которое не равно -3/4.

Единственный случай, когда \( kx^2-1=0 \) дает ровно одно решение, применимое к задаче, это когда одно из корней \( ± 1/√ k \) совпадает с \( -3/4 \), но мы это уже разобрали.

Мы пересмотрели. Уравнение \( (kx^2 - 1)(4x+3) = 0 \) имеет корни \( x = -3/4 \) и \( x = ± 1/√ k \) (при \( k > 0 \)).

Исходная функция определена для \( x
eq 0 \) и \( x
eq -3/4 \).

Поэтому, при решении \( (kx^2 - 1)(4x+3) = 0 \), мы должны исключить \( x = -3/4 \).

Следовательно, мы должны рассматривать только корни из \( kx^2 - 1 = 0 \), то есть \( x = ± 1/√ k \).

Если \( k > 0 \), то есть два корня: \( x_1 = 1/√ k \) и \( x_2 = -1/√ k \).

Для того, чтобы было ровно одно пересечение, одно из этих корней должно быть равно -3/4 (что невозможно, так как \( 1/√ k \) и \( -1/√ k \) не могут быть равны -3/4 одновременно, и \( 1/√ k \) положительный).

Пересмотрим: Функция y = 1/x с дыркой при x = -3/4.

График y = 1/x имеет две ветви. Прямая y = kx проходит через начало координат.

Для \( k > 0 \), прямая \( y = kx \) пересекает \( y = 1/x \) в двух точках: \( x = ± 1/√ k \).

Единственная возможность получить ровно одно пересечение — это когда одна из этих точек совпадает с