Постройте график функции y = (6x+7)/(6x²+7x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Сначала упростим функцию:

\[ y = \frac{6x+7}{6x^2+7x} = \frac{6x+7}{x(6x+7)} \]

При \(6x+7
eq 0\) (то есть \(x
eq -7/6\)) и \(x
eq 0\), мы можем сократить \((6x+7)\):

\[ y = \frac{1}{x} \]

Таким образом, график функции — это гипербола \(y = 1/x\) с двумя выколотыми точками:

1. При \(x=0\) (знаменатель обращается в ноль).

2. При \(x = -7/6\) (числитель и знаменатель обращаются в ноль).

Найдем координату второй выколотой точки:

\[ y = \frac{1}{-7/6} = -\frac{6}{7} \]

Выколотые точки имеют координаты \((0; \text{не определено})\) (это вертикальная асимптота) и \((-7/6; -6/7)\).

Теперь найдем, при каких значениях \(k\) прямая \(y = kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Приравниваем уравнения:

\[ kx = \frac{1}{x} \]

\[ kx^2 = 1 \]

\[ kx^2 - 1 = 0 \]

Рассмотрим случаи:

1. Если \(k=0\), уравнение становится \(-1 = 0\), что невозможно. Прямая \(y=0\) (ось абсцисс) не пересекает гиперболу \(y=1/x\).

2. Если \(k
   eq 0\), то \(x^2 = 1/k\).

Чтобы было ровно одно решение, нужно, чтобы:

2. Уравнение \(x^2 = 1/k\) имело ровно одно решение, и это решение не было бы выколотой точкой \(x = -7/6\).

Уравнение \(x^2 = 1/k\) имеет одно решение, если \(1/k = 0\) (что невозможно, так как \(k
eq 0\)) или если \(x = 0\).

Если \(x = 0\), то \(1/k = 0\), что невозможно.

Важно: Гипербола \(y = 1/x\) имеет две ветви. Прямая \(y = kx\) проходит через начало координат.

Если \(k > 0\), то \(x^2 = 1/k\) имеет два решения: \(x = \pm \sqrt{1/k}\). Обе эти точки не равны \(-7/6\) (так как \(-7/6 < 0\) и \(\sqrt{1/k} > 0\)). Значит, при \(k>0\) всегда две точки пересечения.

Если \(k < 0\), то \(x^2 = 1/k\) не имеет действительных решений. Прямая \(y=kx\) с отрицательным \(k\) проходит через II и IV квадранты, а ветви гиперболы \(y=1/x\) находятся в I и III квадрантах, поэтому нет точек пересечения.

Пересмотрим условие: Прямая \(y = kx\) должна иметь с ГРАФИКОМ ровно одну общую точку. График — это \(y = 1/x\) с выколотой точкой \((-7/6; -6/7)\).

Уравнение \(kx^2 - 1 = 0\). Дискриминант для \(x\) не применим, так как это не квадратное уравнение относительно \(x\) при \(k
eq 0\).

Мы имеем \(x = ± √{1/k}\). Это два решения, если \(k>0\).

Случай, когда прямая проходит через выколотую точку:

Прямая \(y=kx\) проходит через точку \((-7/6; -6/7)\).

\[ -\frac{6}{7} = k \left(-\frac{7}{6}\right) \]

Умножим обе части на \(-6/7\):

\[ k = \left(-\frac{6}{7}\right) \times \left(-\frac{6}{7}\right) = \frac{36}{49} \]

Если \(k = 36/49\), то уравнение \(\frac{36}{49}x^2 - 1 = 0\) имеет два корня: \(x^2 = 49/36\), \(x = ± 7/6\).

Один из этих корней — \(x = 7/6\), а второй — \(x = -7/6\). Выколотая точка — \(x = -7/6\). Значит, кроме выколотой точки, есть еще одна точка пересечения \((7/6; 1/(7/6)) = (7/6; 6/7)\). Всего две точки пересечения.

Когда же будет ровно одна точка?

Прямая \(y=kx\) пересекает гиперболу \(y=1/x\) в двух точках, если \(k > 0\). Когда \(k=0\), нет пересечений. Когда \(k<0\), нет пересечений.

НО! Мы должны учитывать выколотую точку \(x = -7/6\).

Если \(k > 0\), мы получаем два решения \(x = ± √{1/k}\). Одно из этих решений может совпадать с \(x = -7/6\). Это происходит, когда \(√{1/k} = 7/6\) (потому что \(-7/6\) — это отрицательный корень, а \(√{1/k}\) — положительный).

\[ \sqrt{1/k} = 7/6 \implies 1/k = 49/36 \implies k = 36/49 \]

В этом случае \(k = 36/49 > 0\). Решения: \(x = ± 7/6\). Точка \(x = -7/6\) выколота, а точка \(x = 7/6\) остается. Значит, при \(k = 36/49\) есть ровно одна точка пересечения.

Еще один случай: что если положительный корень \(x = √{1/k}\) равен \(-7/6\)? Это невозможно, так как \(√{1/k}\) всегда положительно.

Итого:

При \(k > 0\), уравнение \(x^2 = 1/k\) имеет два действительных решения. Если одно из них совпадает с \(x = -7/6\), то второе решение (если оно не равно \(-7/6\)) и будет единственной точкой пересечения с графиком.

Это происходит, когда \(k = 36/49\). Тогда \(x = ± 7/6\). Точка \(x=-7/6\) выколота, а \(x=7/6\) остается. Это одна точка пересечения.

График: Гипербола \(y = 1/x\) с выколотой точкой \((-7/6; -6/7)\). Прямая \(y = kx\) проходит через начало координат \((0; 0)\).

Ответ: \(k = 36/49\).