Постройте график функции $$y = \begin{cases} 2x - 2, & \text{если } x < 3 \\ -3x + 13, & \text{если } 3 \le x \le 4 \\ 1.5x - 7, & \text{если } x > 4 \end{cases}$$ Определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Построим график заданной кусочно-линейной функции. Функция состоит из трех частей:

Первая часть: $ y = 2x - 2 $ при $ x < 3 $. Это луч, который начинается в точке, но не включает её. Найдем значение $y$ при $x = 3$: $ y = 2 \cdot 3 - 2 = 4 $. Таким образом, первая часть — это луч, исходящий из точки (3, 4) (не включая её) и идущий влево. Например, при $x = 0$, $y = -2$.
Вторая часть: $ y = -3x + 13 $ при $ 3 \le x \le 4 $. Это отрезок. Найдем значения $y$ на концах отрезка:
- При $x = 3$: $ y = -3 \cdot 3 + 13 = -9 + 13 = 4 $. Точка (3, 4) включается.
- При $x = 4$: $ y = -3 \cdot 4 + 13 = -12 + 13 = 1 $. Точка (4, 1) включается.
Третья часть: $ y = 1.5x - 7 $ при $ x > 4 $. Это луч, который начинается в точке, но не включает её. Найдем значение $y$ при $x = 4$: $ y = 1.5 \cdot 4 - 7 = 6 - 7 = -1 $. Таким образом, третья часть — это луч, исходящий из точки (4, -1) (не включая её) и идущий вправо.

Теперь проанализируем, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ (горизонтальная линия) пересекает график ровно в двух точках.

Если $m > 4$, прямая пересекает только первую часть графика (один раз).
Если $m = 4$, прямая проходит через точку (3, 4). Она пересекает первую часть графика (до точки (3,4)) и вторую часть графика (в точке (3,4)). Таким образом, одно пересечение.
Если $ 1 < m < 4 $, прямая пересекает первую и вторую части графика (два раза).
Если $ m = 1 $, прямая проходит через точку (4, 1). Она пересекает вторую часть графика (в точке (4,1)) и третью часть графика (до точки (4,-1)). Таким образом, одно пересечение.
Если $ -1 < m < 1 $, прямая пересекает вторую и третью части графика (два раза).
Если $ m = -1 $, прямая проходит через точку (4, -1). Она пересекает вторую часть графика (до точки (4,1)) и третью часть графика (до точки (4,-1)). Таким образом, одно пересечение.
Если $ m < -1 $, прямая пересекает только третью часть графика (один раз).

Прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки, когда $m$ находится в интервалах $ (1, 4) $ и $ (-1, 1) $.

Ответ: $ m ∈ (-1; 1) ∪ (1; 4) $.