Постройте график функции $$y = \begin{cases} -x + 1 & \text{при } x \le 1, \\ 1,5x - 1,5 & \text{при } 1 < x \le 4, \\ -2,25x + 13,5 & \text{при } x > 4. \end{cases}$$ Найдите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Краткая запись:

• Дана кусочно-заданная функция:
  • $$y = -x + 1$$ при $$x \le 1$$
  • $$y = 1,5x - 1,5$$ при $$1 < x \le 4$$
  • $$y = -2,25x + 13,5$$ при $$x > 4$$
• Найти: значения $$m$$, при которых прямая $$y = m$$ пересекает график функции ровно в двух точках.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем точки для построения графика.
   • Для $$y = -x + 1$$ (при $$x \le 1$$):
     • При $$x = 1$$, $$y = -1 + 1 = 0$$. Точка (1, 0).
     • При $$x = 0$$, $$y = -0 + 1 = 1$$. Точка (0, 1).
     • При $$x = -1$$, $$y = -(-1) + 1 = 2$$. Точка (-1, 2).
   • Для $$y = 1,5x - 1,5$$ (при $$1 < x \le 4$$):
     • При $$x = 1$$, $$y = 1,5 1 - 1,5 = 0$$. Точка (1, 0) (граничная, но не включается в этот интервал, однако значение совпадает с предыдущим).
     • При $$x = 4$$, $$y = 1,5 4 - 1,5 = 6 - 1,5 = 4,5$$. Точка (4, 4.5).
     • При $$x = 2$$, $$y = 1,5 2 - 1,5 = 3 - 1,5 = 1,5$$. Точка (2, 1.5).
   • Для $$y = -2,25x + 13,5$$ (при $$x > 4$$):
     • При $$x = 4$$, $$y = -2,25 4 + 13,5 = -9 + 13,5 = 4,5$$. Точка (4, 4.5) (граничная, но не включается в этот интервал, однако значение совпадает с предыдущим).
     • При $$x = 5$$, $$y = -2,25 5 + 13,5 = -11,25 + 13,5 = 2,25$$. Точка (5, 2.25).
     • При $$x = 6$$, $$y = -2,25 6 + 13,5 = -13,5 + 13,5 = 0$$. Точка (6, 0).
2. Шаг 2: Построение графика.
   • Первая часть — луч, начинающийся в точке (1, 0) и идущий вверх влево через (0, 1), (-1, 2) и т.д.
   • Вторая часть — отрезок, соединяющий точку (1, 0) (не включительно) с точкой (4, 4.5) (включительно).
   • Третья часть — луч, начинающийся в точке (4, 4.5) (не включительно) и идущий вниз вправо через (5, 2.25), (6, 0) и т.д.
3. Шаг 3: Анализ пересечений с прямой $$y = m$$.
   • Проведем горизонтальные прямые $$y = m$$ и посмотрим, сколько точек пересечения они имеют с графиком.
   • Если $$m > 4,5$$ или $$m < 0$$, прямая не пересечет график.
   • Если $$m = 4,5$$, прямая имеет одну точку пересечения (в точке (4, 4.5)).
   • Если $$0 < m < 4,5$$, прямая пересечет график в двух точках (одну в первом луче, другую во втором отрезке).
   • Если $$m = 0$$, прямая пересечет график в двух точках (точке (1,0) и точке (6,0)).
   • Если $$m < 0$$, прямая не пересечет график.
4. Шаг 4: Определение значений $$m$$ для двух точек пересечения.
   • Прямая $$y = m$$ имеет ровно две общие точки с графиком, когда $$0 < m < 4,5$$ или $$m=0$$.
   • Однако, в задаче сказано "ровно две общие точки". Рассмотрим крайние случаи:
     • Когда $$m=0$$, прямая $$y=0$$ (ось x) пересекает график в точках (1,0) и (6,0). Это две точки.
     • Когда $$m=4.5$$, прямая $$y=4.5$$ пересекает график в точке (4, 4.5). Это одна точка.
   • Таким образом, прямая $$y=m$$ имеет ровно две общие точки, когда $$m$$ находится в интервале $$(0, 4.5)$$ или когда $$m=0$$.

Ответ: $$m = 0$$ или $$0 < m < 4,5$$.