Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+2x+3, & x\ge -3,\\x+9, & x<-3.\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+2x+3, & x\ge -3,\\x+9, & x<-3.\end{cases}$ и определите, при каких значениях…$ Фото задания

Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+2x+3, & x\ge -3,\\x+9, & x<-3.\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

Преобразуем выражение на параболической части: $x^2+2x+3=(x+1)^2+2$. Поэтому при $x\ge -3$ это часть параболы с вершиной $(-1;2)$, включая точку $(-3;6)$. Вторая часть — прямая $y=x+9$ при $x<-3$; точка $(-3;6)$ для неё не входит в график.

Проверим уровни, на которых число пересечений может измениться:

При $m<2$ с параболой пересечений нет, а с линейной частью есть одно. Всего одна точка.
При $m=2$ прямая касается параболы в вершине $(-1;2)$, а линейную часть пересекает в точке $(-7;2)$. Всего две точки.
При \(2
При $m=6$ прямая пересекает параболическую часть в точках $(-3;6)$ и $(1;6)$. Линейная часть при этом уровня не достигает: для $x<-3$ выполняется $x+9<6$. Всего две точки.
При $m>6$ остаётся одно пересечение с параболической частью; линейная часть значений выше 6 не принимает.

График функции и прямые уровней $y=2$ и $y=6$:

Ответ: $m=2$ или $m=6$.

Постройте график функции \(y=\begin{cases}x^2+2x+3, & x\ge -3,\\x+9, & x<-3.\end{cases}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: