Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+6x-3,&x\ge 2,\\-x+7,&x<2.\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+6x-3,&x\ge 2,\\-x+7,&x<2.\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$…$ Фото задания

Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+6x-3,&x\ge 2,\\-x+7,&x<2.\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

При $x<2$ график задаётся прямой $y=-x+7$, заканчивающейся выколотой точкой $(2,5)$. При $x\ge2$ график задаётся параболой $y=-(x-3)^2+6$, включая точку $(2,5)$. Вершина параболы — $(3,6)$.

Считаем пересечения горизонтальной прямой $y=m$ с каждой частью графика:

На луче прямой при $x<2$ есть одна точка пересечения, если $m>5$; при $m\le5$ пересечений нет.
На ветви параболы при $x\ge2$: если $m<5$, имеется одно пересечение; при $m=5$ — два; при $5<m<6$ — два; при $m=6$ — одно; при $m>6$ — ни одного.

Складывая количества пересечений, получаем ровно две точки при $m<5$, при $m=5$ и при $m=6$.

Ответ: $m\le5$ или $m=6$.

Постройте график функции \(y=\begin{cases}-x^2+6x-3,&x\ge 2,\\-x+7,&x&lt;2.\end{cases}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ:

Постройте график функции \(y=\begin{cases}-x^2+6x-3,&x\ge 2,\\-x+7,&x<2.\end{cases}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.