Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+6x-3,&x\ge2,\\-x+7,&x<2.\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+6x-3,&x\ge2,\\-x+7,&x<2.\end{cases}$ и определите, при каких значениях…$ Фото задания

Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+6x-3,&x\ge2,\\-x+7,&x<2.\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

Для $x\ge2$ имеем $y=-(x-3)^2+6$: это часть параболы с вершиной $(3;6)$, включающая точку $(2;5)$. Для $x<2$ график — луч прямой $y=-x+7$, подходящий к точке $(2;5)$, которая для этой части не включена.

Считаем пересечения с горизонтальной прямой $y=m$:

При $m<5$ парабола даёт одну точку, прямая — ни одной.
При $m=5$ парабола пересекается в точках $(2;5)$ и $(4;5)$, а линейная часть не добавляет пересечения.
При \(5
При $m=6$ есть точка вершины параболы и одна точка на линейной части.
При $m>6$ остаётся только одно пересечение с линейной частью.

Ответ: $m=5$ и $m=6$.

Постройте график функции \(y=\begin{cases}-x^2+6x-3,&x\ge2,\\-x+7,&x<2.\end{cases}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: