Постройте график функции: $y=\dfrac{(x^2+7x+12)(x^2-x-2)}{x^2+5x+4}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: Постройте график функции: $y=\dfrac{(x^2+7x+12)(x^2-x-2)}{x^2+5x+4}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$…$ Фото задания

Постройте график функции: $y=\dfrac{(x^2+7x+12)(x^2-x-2)}{x^2+5x+4}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Разложим многочлены на множители:

$x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$, $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, $x^2+5x+4=(x+1)(x+4)$.

Область определения исходной функции: $x\ne-1$, $x\ne-4$. После сокращения получаем $y=(x+3)(x-2)=x^2+x-6$, но точки с абсциссами $-1$ и $-4$ в график не входят. Это парабола с выколотыми точками $(-1,-6)$ и $(-4,6)$.

Вершина параболы имеет абсциссу $x=-\frac12$, а ординату $y=-\frac{25}{4}$. Поэтому прямая $y=m$ пересекает параболу в одной точке при $m=-\frac{25}{4}$. Для уровней выше вершины обычно имеются два пересечения. Однако при $m=-6$ одно из них приходится на выколотую точку $(-1,-6)$, а при $m=6$ — на выколотую точку $(-4,6)$; в каждом случае остаётся ровно одно пересечение.

Ответ: $m=-\frac{25}{4},\,-6,\,6$.

Постройте график функции: \(y=\dfrac{(x^2+7x+12)(x^2-x-2)}{x^2+5x+4}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: