Постройте график функции $$y = \frac{1.5|x|-1}{|x|-1.5x^2}$$. Определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

Решение:

1. Анализ функции:

• Функция определена при $$|x| - 1.5x^2
  eq 0$$.
• $$|x|
  eq 1.5x^2$$.
• Если $$x > 0$$, то $$x
  eq 1.5x^2$$. $$1
  eq 1.5x$$, $$x
  eq 1/1.5 = 2/3$$.
• Если $$x < 0$$, то $$-x
  eq 1.5x^2$$. $$-1
  eq 1.5x$$, $$x
  eq -1/1.5 = -2/3$$.
• $$x=0$$ также является точкой, где знаменатель равен 0.
• Итак, область определения: $$x \in \mathbb{R} \setminus \{-2/3, 0, 2/3\}$$.

2. Преобразование функции:

• Случай 1: $$x > 0$$.
• $$|x| = x$$. Функция имеет вид: \[ y = \frac{1.5x-1}{x-1.5x^2} = \frac{1.5x-1}{x(1-1.5x)} \]
• Случай 2: $$x < 0$$.
• $$|x| = -x$$. Функция имеет вид: \[ y = \frac{1.5(-x)-1}{-x-1.5x^2} = \frac{-1.5x-1}{-x(1+1.5x)} = \frac{1.5x+1}{x(1+1.5x)} \]

3. Построение графика:

• График будет состоять из двух частей, симметричных относительно оси y, так как функция не является ни четной, ни нечетной.
• Для $$x > 0$$:
  • Нули числителя: $$1.5x - 1 = 0 ightarrow x = 1/1.5 = 2/3$$.
  • Нули знаменателя: $$x=0$$ (точка вылета) и $$1 - 1.5x = 0 ightarrow x = 2/3$$ (точка вылета).
  • Таким образом, для $$x > 0$$ функция не определена в точках $$x=0$$ и $$x=2/3$$.
• Для $$x < 0$$:
  • Нули числителя: $$1.5x + 1 = 0 ightarrow x = -2/3$$.
  • Нули знаменателя: $$x=0$$ (точка вылета) и $$1 + 1.5x = 0 ightarrow x = -2/3$$ (точка вылета).
  • Таким образом, для $$x < 0$$ функция не определена в точках $$x=0$$ и $$x=-2/3$$.
• График будет иметь разрывы в точках $$x = -2/3, x = 0, x = 2/3$$.

4. Анализ прямой $$y=kx$$:

• Прямая $$y=kx$$ проходит через начало координат (0;0).
• Так как функция не определена в $$x=0$$, прямая $$y=kx$$ всегда будет иметь одну общую точку с графиком, если $$k$$ не равно одному из значений, при которых функция принимает значение 0 (т.е. $$y=0$$).
• Однако, функция $$y = rac{1.5|x|-1}{|x|-1.5x^2}$$ никогда не равна 0, потому что числитель $$1.5|x|-1 = 0$$ только при $$|x| = 2/3$$, а в этих точках знаменатель тоже равен 0.
• Прямая $$y=kx$$ не имеет общих точек с графиком, если она проходит через точки разрыва, где функция не определена, и при этом не пересекает график в других точках.
• Точки разрыва: $$x = -2/3, x = 0, x = 2/3$$.
• Прямая $$y=kx$$ всегда проходит через $$(0,0)$$, но функция не определена в $$x=0$$.
• Если $$k=0$$, то $$y=0$$. Но $$y=0$$ только при $$1.5|x|-1=0 ightarrow |x|=2/3$$. В этих точках знаменатель тоже 0, значит $$y$$ не определена.
• Прямая $$y=kx$$ не будет иметь общих точек с графиком, если она проходит через точки разрыва $$x = rac{2}{3}$$ и $$x = -rac{2}{3}$$, при этом $$y=0$$. Однако, $$y$$ не равно 0 в этих точках.
• Рассмотрим значения $$k$$, при которых прямая $$y=kx$$ будет совпадать с одной из ветвей графика. Это невозможно, так как график не является прямой.
• Прямая $$y=kx$$ будет иметь общую точку с графиком, если $$kx = rac{1.5|x|-1}{|x|-1.5x^2}$$.
• Если $$k=0$$, то $$y=0$$. Функция никогда не равна 0, так как в точках $$x = rac{2}{3}$$ и $$x = -rac{2}{3}$$, где числитель равен 0, знаменатель тоже равен 0.
• Прямая $$y=kx$$ не имеет общих точек с графиком, если она проходит через точки, где функция не определена, но при этом не пересекает график.
• Прямая $$y=kx$$ проходит через начало координат. Функция имеет разрывы в $$x = 2/3$$ и $$x = -2/3$$.
• Если прямая $$y=kx$$ пройдет через точки $$(-2/3, y_1)$$ и $$(2/3, y_2)$$, где $$y_1$$ и $$y_2$$ —