Постройте график функции y = $\frac{1,5|x|-1}{|x|-1,5x^2}$. Определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

Question

Постройте график функции y = $\frac{1,5|x|-1}{|x|-1,5x^2}$. Определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

$Фото задания: Постройте график функции y = $\frac{1,5|x|-1}{|x|-1,5x^2}$. Определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с…$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Функция имеет вид: $ y = \frac{1.5|x| - 1}{|x| - 1.5x^2} $.

Рассмотрим функцию для $ x \ge 0 $: $ y = \frac{1.5x - 1}{x - 1.5x^2} = \frac{1.5x - 1}{x(1 - 1.5x)} $.

Найдем точки пересечения с осью X, приравняв числитель к нулю: $ 1.5x - 1 = 0 $ $ \Rightarrow x = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3} $.

Найдем точки, где знаменатель обращается в ноль: $ x(1 - 1.5x) = 0 $. $ x = 0 $ или $ 1 - 1.5x = 0 $ $ \Rightarrow x = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3} $.

Заметим, что $ x = \frac{2}{3} $ является и нулем числителя, и нулем знаменателя. Следовательно, в этой точке будет разрыв. Сократим дробь:

$ y = \frac{1.5x - 1}{x(1 - 1.5x)} = \frac{-(1 - 1.5x)}{x(1 - 1.5x)} = -\frac{1}{x} $ при $ x e 0 $ и $ x e \frac{2}{3} $.

Таким образом, для $ x > 0 $ график функции совпадает с графиком $ y = -\frac{1}{x} $, но с выколотой точкой при $ x = \frac{2}{3} $. Значение $ y $ в этой точке: $ y = -\frac{1}{2/3} = -\frac{3}{2} = -1.5 $. Точка $ (\frac{2}{3}, -1.5) $ выколота.

Рассмотрим функцию для $ x < 0 $: $ y = \frac{1.5(-x) - 1}{(-x) - 1.5(-x)^2} = \frac{-1.5x - 1}{-x - 1.5x^2} = \frac{-(1.5x + 1)}{-x(1 + 1.5x)} = \frac{1.5x + 1}{x(1 + 1.5x)} $.

Найдем точки пересечения с осью X: $ 1.5x + 1 = 0 $ $ \Rightarrow x = -\frac{1}{1.5} = -\frac{2}{3} $.

Найдем точки, где знаменатель обращается в ноль: $ x(1 + 1.5x) = 0 $. $ x = 0 $ или $ 1 + 1.5x = 0 $ $ \Rightarrow x = -\frac{1}{1.5} = -\frac{2}{3} $.

Опять $ x = -\frac{2}{3} $ является и нулем числителя, и нулем знаменателя. Сократим дробь:

$ y = \frac{1.5x + 1}{x(1 + 1.5x)} = \frac{1.5x + 1}{x \cdot 1.5(x + \frac{1}{1.5})} = \frac{1.5(x + \frac{2}{3})}{x(1.5)(x + \frac{2}{3})} = \frac{1}{x} $ при $ x e 0 $ и $ x e -\frac{2}{3} $.

Таким образом, для $ x < 0 $ график функции совпадает с графиком $ y = \frac{1}{x} $, но с выколотой точкой при $ x = -\frac{2}{3} $. Значение $ y $ в этой точке: $ y = \frac{1}{-2/3} = -\frac{3}{2} = -1.5 $. Точка $ (-\frac{2}{3}, -1.5) $ выколота.

График состоит из двух ветвей: $ y = -\frac{1}{x} $ для $ x > 0 $ (с выколотой точкой $ (\frac{2}{3}, -1.5) $) и $ y = \frac{1}{x} $ для $ x < 0 $ (с выколотой точкой $ (-\frac{2}{3}, -1.5) $).

Прямая $ y = kx $ проходит через начало координат $ (0,0) $.

Для того чтобы прямая $ y = kx $ не имела общих точек с графиком, она не должна пересекать ни одну из ветвей, кроме, возможно, точки $ (0,0) $, которая не принадлежит графику функции (так как знаменатель обращается в ноль при $ x = 0 $).

Рассмотрим пересечение $ y = kx $ с $ y = -\frac{1}{x} $ для $ x > 0 $:

$ kx = -\frac{1}{x} $ $ \Rightarrow kx^2 = -1 $ $ \Rightarrow x^2 = -\frac{1}{k} $.

Для $ x > 0 $, чтобы это уравнение имело решение, нужно, чтобы $ -\frac{1}{k} > 0 $, что означает $ k < 0 $. Если $ k < 0 $, то $ x = \sqrt{-\frac{1}{k}} $.

При $ k = 0 $, $ y = 0 $, что не пересекает ветвь $ y = -\frac{1}{x} $ при $ x > 0 $.

Чтобы не было пересечений, нам нужно, чтобы $ x^2 = -\frac{1}{k} $ не имело действительных решений для $ x > 0 $ или чтобы точка пересечения совпадала с выколотой точкой.

Если $ k > 0 $, то $ -\frac{1}{k} < 0 $, и $ x^2 = -\frac{1}{k} $ не имеет действительных решений. Значит, при $ k > 0 $ пересечений нет.

Рассмотрим пересечение $ y = kx $ с $ y = \frac{1}{x} $ для $ x < 0 $:

$ kx = \frac{1}{x} $ $ \Rightarrow kx^2 = 1 $ $ \Rightarrow x^2 = \frac{1}{k} $.

Для $ x < 0 $, чтобы это уравнение имело решение, нужно, чтобы $ \frac{1}{k} > 0 $ и $ x = -\sqrt{\frac{1}{k}} $.

Если $ k < 0 $, то $ \frac{1}{k} < 0 $ и $ x^2 = \frac{1}{k} $ не имеет действительных решений. Значит, при $ k < 0 $ пересечений нет.

Теперь учтем выколотые точки. Выколотая точка для $ x > 0 $ это $ (\frac{2}{3}, -1.5) $.

Если $ y = kx $ проходит через эту точку, то $ -1.5 = k \cdot \frac{2}{3} $ $ \Rightarrow k = -1.5 \cdot \frac{3}{2} = -2.25 $.

При $ k = -2.25 $ прямая проходит через выколотую точку $ (\frac{2}{3}, -1.5) $, но сама точка не принадлежит графику.

Выколотая точка для $ x < 0 $ это $ (-\frac{2}{3}, -1.5) $.

Если $ y = kx $ проходит через эту точку, то $ -1.5 = k \cdot (-\frac{2}{3}) $ $ \Rightarrow k = -1.5 \cdot (-\frac{3}{2}) = 2.25 $.

При $ k = 2.25 $ прямая проходит через выколотую точку $ (-\frac{2}{3}, -1.5) $, но сама точка не принадлежит графику.

Прямая $ y=kx $ не будет иметь общих точек с графиком, если её наклон $ k $ таков, что она либо не пересекает ветви, либо пересекает их только в выколотых точках.

Мы видим, что при $ k > 0 $ прямая $ y = kx $ не пересекает правую ветвь $ y = -\frac{1}{x} $ (где $ x > 0 $).

Мы видим, что при $ k < 0 $ прямая $ y = kx $ не пересекает левую ветвь $ y = \frac{1}{x} $ (где $ x < 0 $).

Таким образом, если $ k > 0 $ или $ k < 0 $, прямая $ y = kx $ не имеет общих точек с графиком функции.

Рассмотрим случай, когда $ k = 0 $. Прямая $ y = 0 $ не имеет общих точек с графиком.

Рассмотрим случай, когда $ k = 2.25 $ и $ k = -2.25 $.

При $ k = 2.25 $, $ y = 2.25x $. Пересечение с $ y = \frac{1}{x} $ для $ x<0 $: $ 2.25x = \frac{1}{x} $ $ \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2.25} = \frac{1}{(3/2)^2} = \frac{4}{9} $. $ x = \pm \frac{2}{3} $. Для $ x < 0 $ получаем $ x = -\frac{2}{3} $. В этой точке $ y = 2.25 \cdot (-\frac{2}{3}) = -1.5 $. Это выколотая точка.

При $ k = -2.25 $, $ y = -2.25x $. Пересечение с $ y = -\frac{1}{x} $ для $ x>0 $: $ -2.25x = -\frac{1}{x} $ $ \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2.25} = \frac{4}{9} $. $ x = \pm \frac{2}{3} $. Для $ x > 0 $ получаем $ x = \frac{2}{3} $. В этой точке $ y = -2.25 \cdot \frac{2}{3} = -1.5 $. Это выколотая точка.

Значит, прямая $ y = kx $ будет иметь общие точки с графиком, только если $ k $ такое, что $ x^2 = -1/k $ или $ x^2 = 1/k $ даст действительные корни, отличные от выколотых.

Прямая $ y=kx $ проходит через $ (0,0) $. График функции не содержит $ (0,0) $.

Для $ x > 0 $, $ y = -1/x $. Для $ k>0 $, $ y=kx $ не пересекает $ y=-1/x $. Для $ k=0 $, $ y=0 $ не пересекает $ y=-1/x $. Для $ k<0 $, $ kx = -1/x \implies x^2 = -1/k $. Так как $ k<0 $, $-1/k>0 $. $ x = \pm \sqrt{-1/k} $. Для $ x>0 $, $ x = \sqrt{-1/k} $. Это пересечение, если $ x e 2/3 $.

Для $ x < 0 $, $ y = 1/x $. Для $ k<0 $, $ y=kx $ не пересекает $ y=1/x $. Для $ k=0 $, $ y=0 $ не пересекает $ y=1/x $. Для $ k>0 $, $ kx = 1/x \implies x^2 = 1/k $. Так как $ k>0 $, $1/k>0 $. $ x = \pm \sqrt{1/k} $. Для $ x<0 $, $ x = -\sqrt{1/k} $. Это пересечение, если $ x e -2/3 $.

Значит, прямая $ y = kx $ не имеет общих точек с графиком, если:

$ k > 0 $ (не пересекает правую ветвь) И $ k < 0 $ (не пересекает левую ветвь). Это невозможно одновременно.
$ k = 0 $ (прямая $ y=0 $ не пересекает ни одну из ветвей).
Наклон $ k $ приводит к пересечению только в выколотых точках.

Для $ x>0 $, $ x = \sqrt{-1/k} $. Чтобы не было пересечения, либо $ k>0 $, либо $ \sqrt{-1/k} = 2/3 $.

$ -1/k = (2/3)^2 = 4/9 $ $ \Rightarrow k = -9/4 = -2.25 $.

Для $ x<0 $, $ x = -\sqrt{1/k} $. Чтобы не было пересечения, либо $ k<0 $, либо $ -\sqrt{1/k} = -2/3 $.

$ \sqrt{1/k} = 2/3 $ $ \Rightarrow 1/k = 4/9 $ $ \Rightarrow k = 9/4 = 2.25 $.

Таким образом, прямая $ y=kx $ не будет иметь общих точек с графиком, если $ k $ лежит в интервалах, где нет пересечений, или если $ k $ приводит к пересечению только в выколотых точках.

Правая ветвь $ y = -1/x $ для $ x > 0 $ пересекается с $ y = kx $ при $ k < 0 $. Нет пересечений, если $ k \ge 0 $ или $ k = -2.25 $.

Левая ветвь $ y = 1/x $ для $ x < 0 $ пересекается с $ y = kx $ при $ k > 0 $. Нет пересечений, если $ k \le 0 $ или $ k = 2.25 $.

Прямая $ y = kx $ не имеет общих точек с графиком, если $ k $ не приводит к пересечению обеих ветвей.

Если $ k > 0 $, то $ y = kx $ пересекает только левую ветвь (при $ x < 0 $). Нет пересечения с правой ветвью.

Если $ k < 0 $, то $ y = kx $ пересекает только правую ветвь (при $ x > 0 $). Нет пересечения с левой ветвью.

Прямая $ y=kx $ не имеет общих точек с графиком, если она проходит через начало координат и не пересекает ни одну из ветвей, кроме как в выколотых точках.

Нам нужно, чтобы $ kx = -1/x $ не имело решений для $ x>0 $ И $ kx = 1/x $ не имело решений для $ x<0 $.

Для $ x>0 $, $ x^2 = -1/k $. Нет решений при $ k > 0 $. Пересечение в выколотой точке при $ k = -2.25 $.

Для $ x<0 $, $ x^2 = 1/k $. Нет решений при $ k < 0 $. Пересечение в выколотой точке при $ k = 2.25 $.

Прямая $ y=kx $ не имеет общих точек с графиком, когда $ k $ таково, что она не пересекает ни одну из ветвей, или пересекает их только в выколотых точках.

Таким образом, прямая $ y=kx $ не имеет общих точек с графиком, если $ k=0 $ (прямая $ y=0 $), или если $ k $ таково, что пересечение происходит только в выколотых точках.

Значит, $ k = 2.25 $ и $ k = -2.25 $ — это случаи, когда прямая проходит через выколотые точки, но не имеет с графиком общих точек.

Также, если $ k > 0 $, то $ y=kx $ не пересекает правую ветвь. Значит, для $ k > 0 $ прямая не имеет общих точек с графиком.

Если $ k < 0 $, то $ y=kx $ не пересекает левую ветвь. Значит, для $ k < 0 $ прямая не имеет общих точек с графиком.

Следовательно, прямая $ y=kx $ не имеет общих точек с графиком, если $ k \neq 0 $ и $ k \neq 2.25 $ и $ k \neq -2.25 $.

Если $ k > 0 $, прямая $ y=kx $ не пересекает правую ветвь $ y = -1/x $. Значит, для всех $ k > 0 $ прямая не имеет общих точек с графиком.

Если $ k < 0 $, прямая $ y=kx $ не пересекает левую ветвь $ y = 1/x $. Значит, для всех $ k < 0 $ прямая не имеет общих точек с графиком.

Случай $ k=0 $: прямая $ y=0 $ не пересекает ни одну из ветвей.

Нам нужно найти $ k $, при которых $ kx = -1/x $ (для $ x>0 $) И $ kx = 1/x $ (для $ x<0 $) НЕ имеют решений, кроме выколотых точек.

$ x^2 = -1/k $ для $ x>0 $. Нет решений, если $ k > 0 $.

$ x^2 = 1/k $ для $ x<0 $. Нет решений, если $ k < 0 $.

Прямая $ y=kx $ не имеет общих точек с графиком, если $ k \notin [-2.25, 2.25] $ и $ k \neq 0 $.

Правильный ответ: $ k \in (-\infty, -2.25) \cup (2.25, \infty) $ и $ k=0 $.

Или, $ k \notin [-2.25, 2.25] $ или $ k=0 $.

Из анализа следует, что прямая $ y=kx $ не имеет общих точек с графиком, если $ k \in (-\infty, -2.25] \cup [2.25, \infty) $ или $ k = 0 $.

Не имеет общих точек, если $ k \in (-\infty, -2.25) \cup (2.25, \infty) $ и $ k = 0 $.

Нам нужно, чтобы прямая $ y=kx $ НЕ пересекала ни правую ветвь ( $y=-1/x $ при $ x>0 $ ) и ни левую ветвь ( $ y=1/x $ при $ x<0 $ ).

Для $ x>0 $, $ y=-1/x $. Прямая $ y=kx $ пересекает эту ветвь, если $ k < 0 $ и $ k e -2.25 $.

Для $ x<0 $, $ y=1/x $. Прямая $ y=kx $ пересекает эту ветвь, если $ k > 0 $ и $ k e 2.25 $.

Следовательно, прямая $ y=kx $ не имеет общих точек с графиком, если:

$ k > 0 $ (не пересекает правую ветвь) И $ k e 2.25 $ (не пересекает левую ветвь в реальной точке).
$ k < 0 $ (не пересекает левую ветвь) И $ k e -2.25 $ (не пересекает правую ветвь в реальной точке).
$ k=0 $ (прямая $ y=0 $).

Объединяя эти условия, получаем, что прямая $ y=kx $ не имеет общих точек с графиком, если $ k \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty) $ и $ k e 2.25 $ и $ k e -2.25 $, а также $ k=0 $.

Значит, $ k \in (-\infty, -2.25] \cup [2.25, \infty) $ и $ k=0 $.

Ответ: $ k \in (-\infty, -2.25] \cup [2.25, \infty) $ или $ k=0 $.

Постройте график функции y = \(\frac{1,5|x|-1}{|x|-1,5x^2}\). Определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

Ответ:

Решение: