Постройте график функции \(y = \frac{(x^2 + 0,25)(x - 2)}{2 - x}\) Определите, при каких значениях параметра \(k\) прямая \(y = kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Упростим выражение функции:

\( y = \frac{(x^2 + 0.25)(x - 2)}{-(x - 2)} \)

При \( x \neq 2 \), функция принимает вид:

\( y = -(x^2 + 0.25) = -x^2 - 0.25 \)

Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке \( (0, -0.25) \).

Однако, функция не определена при \( x = 2 \). Найдем значение \(y\) в этой точке, подставив \( x = 2 \) в упрощенное выражение:

\( y = -(2^2 + 0.25) = -(4 + 0.25) = -4.25 \)

Таким образом, в точке \( x = 2 \) график имеет «выколотую» точку \( (2, -4.25) \).

Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат \( (0, 0) \).

Мы ищем значения \( k \), при которых прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком функции \( y = -x^2 - 0.25 \) (с учётом «выколотой» точки).

Приравняем уравнения прямой и функции:

\( kx = -x^2 - 0.25 \)

\( x^2 + kx + 0.25 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Для того чтобы оно имело ровно одно решение, дискриминант должен быть равен нулю:

\( D = k^2 - 4 · 1 · 0.25 = k^2 - 1 \)

\( k^2 - 1 = 0 \Rightarrow k^2 = 1 \Rightarrow k = ± 1 \)

Если \( k = 1 \), то \( x^2 + x + 0.25 = 0 \Rightarrow (x + 0.5)^2 = 0 \Rightarrow x = -0.5 \). Это одно решение, и \( x = -0.5 \) не равно \( 2 \).

Если \( k = -1 \), то \( x^2 - x + 0.25 = 0 \Rightarrow (x - 0.5)^2 = 0 \Rightarrow x = 0.5 \). Это одно решение, и \( x = 0.5 \) не равно \( 2 \).

Теперь рассмотрим случай, когда прямая проходит через «выколотую» точку \( (2, -4.25) \).

Подставим координаты этой точки в уравнение прямой \( y = kx \):

\( -4.25 = k · 2 \Rightarrow k = \frac{-4.25}{2} = -2.125 \)

В этом случае уравнение \( x^2 + kx + 0.25 = 0 \) будет иметь один корень, который равен \( x = 2 \).

Проверим это: \( x^2 - 2.125x + 0.25 = 0 \). Дискриминант \( D = (-2.125)^2 - 4 · 0.25 = 4.515625 - 1 = 3.515625 \). Это не ноль. Значит, этот подход не совсем верен.

Вернемся к уравнению \( x^2 + kx + 0.25 = 0 \). Нам нужно, чтобы это уравнение имело ровно одно решение, НО это решение не должно быть \( x = 2 \).

Случаи, когда прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с параболой \( y = -x^2 - 0.25 \) (за исключением \( x=2 \) ):

1. Уравнение \( x^2 + kx + 0.25 = 0 \) имеет ровно один корень (дискриминант равен 0), и этот корень не равен 2.

\( D = k^2 - 1 = 0 \Rightarrow k = 1 \) или \( k = -1 \).

При \( k = 1 \), \( x = -0.5 \). Это одно решение, и \( x \neq 2 \).

При \( k = -1 \), \( x = 0.5 \). Это одно решение, и \( x \neq 2 \).

2. Уравнение \( x^2 + kx + 0.25 = 0 \) имеет два корня, один из которых равен 2, а другой — нет.

Если \( x = 2 \) является корнем уравнения \( x^2 + kx + 0.25 = 0 \), то:

\( 2^2 + k · 2 + 0.25 = 0 \)

\( 4 + 2k + 0.25 = 0 \)

\( 2k = -4.25 \)

\( k = -2.125 \)

Подставим \( k = -2.125 \) в уравнение \( x^2 + kx + 0.25 = 0 \):

\( x^2 - 2.125x + 0.25 = 0 \)

Умножим на 8, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\( 8x^2 - 17x + 2 = 0 \)

Мы знаем, что \( x = 2 \) — один из корней. Найдем второй корень. Сумма корней \( x_1 + x_2 = -\frac{-17}{8} = \frac{17}{8} \).

\( 2 + x_2 = \frac{17}{8} \Rightarrow x_2 = \frac{17}{8} - 2 = \frac{17 - 16}{8} = \frac{1}{8} \)

Итак, при \( k = -2.125 \), уравнение имеет два корня: \( x = 2 \) и \( x = 1/8 \). Однако, \( x = 2 \) является «выколотой» точкой, поэтому прямой \( y = -2.125x \) будет пересекать график только в одной точке \( x = 1/8 \).

Таким образом, значения \( k \), при которых прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком, это \( k = 1 \), \( k = -1 \) и \( k = -2.125 \).

Ответ: \( k ∈ \{ -2.125 \} ∪ \{ -1 \} ∪ \{ 1 \}.