Постройте график функции: y = \{\(\text{x}\)^2 + 4x + 6 при x \(\geq\) -4,} \(\frac{36}{x}\) при x < -4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос:

Постройте график функции: y = \{\(\text{x}\)^2 + 4x + 6 при x \(\geq\) -4,} \(\frac{36}{x}\) при x < -4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Задание состоит из двух частей: построение графика функции и определение значений m, при которых прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Построение графика функции

Функция задана кусочно:

\( f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 6, & \text{при } x \geq -4 \\ \frac{36}{x}, & \text{при } x < -4 \end{cases} \)

Первый кусочек: парабола \( y = x^2 + 4x + 6 \) при \( x \geq -4 \).

Выделим полный квадрат: \( y = (x^2 + 4x + 4) + 2 = (x + 2)^2 + 2 \). Это парабола с вершиной в точке \( (-2, 2) \).

Найдем значение функции на границе интервала \( x = -4 \): \( y = (-4)^2 + 4(-4) + 6 = 16 - 16 + 6 = 6 \). Таким образом, первая часть графика начинается в точке \( (-4, 6) \) и идет вверх, как ветвь параболы.

Второй кусочек: гипербола \( y = \frac{36}{x} \) при \( x < -4 \).

Эта гипербола расположена в II и IV координатных четвертях. Нас интересует часть графика при \( x < -4 \).

Найдем значение функции на границе интервала \( x = -4 \): \( y = \frac{36}{-4} = -9 \). Точка \( (-4, -9) \) является началом второй части графика.

При \( x \to -\infty \), \( y = \frac{36}{x} \to 0 \). Асимптота — ось x.

График:

Вершина параболы: (-2, 2).

Конечная точка первой ветви: (-4, 6).

Начальная точка второй ветви: (-4, -9).

2. Определение значений m

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Она имеет ровно одну общую точку с графиком функции, если пересекает его в одной из следующих точек:

В вершине параболы: \( y = 2 \). В этом случае \( m = 2 \).
В точке, где первая ветвь (парабола) заканчивается, при условии, что эта точка является единственной: \( x = -4 \), \( y = 6 \). Но так как при \( x = -4 \) существует и вторая ветвь графика, эта точка не будет единственной.
В точке, где вторая ветвь (гипербола) начинается: \( x = -4 \), \( y = -9 \). В этом случае \( m = -9 \).

Таким образом, прямая \( y = m \) будет иметь ровно одну общую точку с графиком, когда \( m = 2 \) (пересечение с вершиной параболы) или \( m = -9 \) (пересечение с началом второй ветви графика, которое находится ниже вершины параболы).

Ответ: m = 2 или m = -9.