Постройте график функции y = (x²+1)(x-2) / (2-x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Построение графика функции и определение значений k

Сначала упростим функцию:

\( y = \frac{(x^2+1)(x-2)}{2-x} \)

Заметим, что \( 2-x = -(x-2) \). Поэтому:

\( y = \frac{(x^2+1)(x-2)}{-(x-2)} \)

При \( x \neq 2 \), мы можем сократить \( (x-2) \):

\( y = -(x^2+1) = -x^2 - 1 \)

Таким образом, график функции — это парабола \( y = -x^2 - 1 \) с выколотой точкой при \( x = 2 \).

Найдем значение \( y \) для выколотой точки:

\( y = -(2^2) - 1 = -4 - 1 = -5 \)

Значит, выколотая точка имеет координаты \( (2, -5) \).

Построение графика:

График функции \( y = -x^2 - 1 \) — это парабола с вершиной в точке \( (0, -1) \), направленная ветвями вниз.

Определение значений k:

Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат \( (0,0) \). Чтобы найти значения \( k \), при которых прямая имеет с графиком ровно одну общую точку, нужно найти такие \( k \), чтобы уравнение \( kx = -x^2 - 1 \) имело ровно одно решение, учитывая, что \( x \neq 2 \).

Перенесем все в одну сторону:

\( x^2 + kx + 1 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Для того чтобы оно имело ровно одно решение, дискриминант должен быть равен нулю:

\( D = k^2 - 4 · 1 · 1 = 0 \)

\( k^2 - 4 = 0 \)

\( k^2 = 4 \)

\( k = ± 2 \)

Теперь проверим, не является ли решение \( x = 2 \) в этих случаях.

Если \( k = 2 \), то уравнение \( x^2 + 2x + 1 = 0 \) имеет решение \( x = -1 \) (по формуле \( x = -k/2 \) для случая D=0). Точка \( (-1, -2) \) (так как \( y = 2(-1) = -2 \) и \( y = -(-1)^2 - 1 = -1 - 1 = -2 \)).

Если \( k = -2 \), то уравнение \( x^2 - 2x + 1 = 0 \) имеет решение \( x = 1 \) (по формуле \( x = -k/2 \)). Точка \( (1, -2) \) (так как \( y = -2(1) = -2 \) и \( y = -(1)^2 - 1 = -1 - 1 = -2 \)).

Однако, нам нужно, чтобы прямая \( y=kx \) проходила через выколотую точку \( (2, -5) \) ровно один раз. Если прямая проходит через выколотую точку, то эта точка является пересечением.

Подставим координаты выколотой точки \( (2, -5) \) в уравнение прямой \( y = kx \):

\( -5 = k · 2 \)

\( k = -\frac{5}{2} = -2.5 \)

В этом случае, уравнение \( -2.5x = -x^2 - 1 \) или \( x^2 - 2.5x + 1 = 0 \) будет иметь один корень \( x=2 \) (который выколот) и второй корень.

Дискриминант для \( x^2 - 2.5x + 1 = 0 \): \( D = (-2.5)^2 - 4 · 1 · 1 = 6.25 - 4 = 2.25 \). \( √{D} = 1.5 \).

Корни: \( x_1 = \frac{2.5 + 1.5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) (выколотая точка) и \( x_2 = \frac{2.5 - 1.5}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \).

Таким образом, при \( k = -2.5 \) прямая проходит через выколотую точку \( (2, -5) \) и имеет еще одно пересечение в точке \( (0.5, -1.25) \).

Рассмотрим касание графика параболы прямой \( y=kx \). Это происходит, когда дискриминант \( x^2 + kx + 1 = 0 \) равен 0, что дает \( k = ± 2 \).

При \( k=2 \), \( x = -1 \). Точка \( (-1, -2) \). Эта точка не выколота.

При \( k=-2 \), \( x = 1 \). Точка \( (1, -2) \). Эта точка не выколота.

Нам нужно, чтобы прямая \( y = kx \) имела ровно одну точку пересечения с графиком, который является параболой \( y = -x^2 - 1 \) за исключением точки \( (2, -5) \).

Случаи, когда прямая пересекает параболу в одной точке:

1. Касательная к параболе, которая не проходит через выколотую точку. Это происходит при \( k = 2 \) и \( k = -2 \).
2. Прямая проходит через выколотую точку \( (2, -5) \) и не пересекает параболу в другой точке. Но мы уже выяснили, что при \( k = -2.5 \) есть второе пересечение.
3. Прямая проходит через выколотую точку \( (2, -5) \) и пересекает параболу в одной точке (т.е. является касательной в этой точке). Но парабола \( y = -x^2 - 1 \) не проходит через \( (2, -5) \), поэтому этот случай невозможен.

Таким образом, нам подходят случаи, когда прямая является касательной к параболе, и точка касания не является выколотой.

Значения \( k \), при которых \( x^2 + kx + 1 = 0 \) имеет одно решение: \( k = 2 \) и \( k = -2 \).

В этих случаях точки пересечения: \( x = -1 \) (при \( k=2 \)) и \( x = 1 \) (при \( k=-2 \)). Обе эти точки не являются выколотой \( (2, -5) \).

Следовательно, прямая \( y=kx \) будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции, когда она является касательной к параболе, и точка касания не является выколотой.

Ответ: k = 2 и k = -2.