Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Постройте график функции y = ((x²+1)(x-2))/(2-x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.
Ответ:
Краткое пояснение:
Краткое пояснение: Чтобы найти значения k, при которых прямая y = kx имеет ровно одну общу точку с графиком функции, нужно решить уравнение, приравняв функции, и проанализировать количество корней.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Упростим функцию. Заметим, что знаменатель (2-x) и множитель (x-2) в числителе отличаются знаком. Поэтому, при x ≠ 2, мы можем упростить выражение:
y = \( \frac{(x^2+1)(x-2)}{2-x} = -\frac{(x^2+1)(x-2)}{x-2} = -(x^2+1) = -x^2 - 1 \).
Таким образом, график функции представляет собой параболу \( y = -x^2 - 1 \) с выколотой точкой при \( x=2 \). - Шаг 2: Найдем координаты выколотой точки. При \( x=2 \), \( y = -(2^2) - 1 = -4 - 1 = -5 \). Выколотая точка имеет координаты (2, -5).
- Шаг 3: Приравняем функцию к прямой: \( -x^2 - 1 = kx \).
Перенесем все в одну сторону: \( x^2 + kx + 1 = 0 \). - Шаг 4: Анализируем количество корней квадратного уравнения.
* Если прямая проходит через выколотую точку (2, -5), то \( y = kx \) => \( -5 = k \times 2 \) => \( k = -5/2 \). Подставим это значение k в уравнение: \( x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0 \). Умножим на 2: \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \). Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9 \). Корни: \( x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \times 2} = \frac{5 \pm 3}{4} \). Получаем \( x_1 = \frac{8}{4} = 2 \) и \( x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). Первый корень \( x=2 \) соответствует выколотой точке, поэтому он не является общей точкой графика. Второй корень \( x=1/2 \) является действительной точкой пересечения. Таким образом, при \( k = -5/2 \) есть ровно одна общая точка. - Шаг 5: Рассматриваем случай, когда уравнение \( x^2 + kx + 1 = 0 \) имеет ровно один корень. Это происходит, когда дискриминант равен нулю.
\( D = k^2 - 4 \times 1 \times 1 = k^2 - 4 \).
\( k^2 - 4 = 0 \) => \( k^2 = 4 \) => \( k = \pm 2 \).
* Если \( k = 2 \), то \( x^2 + 2x + 1 = 0 \) => \( (x+1)^2 = 0 \) => \( x = -1 \). Это одна общая точка.
* Если \( k = -2 \), то \( x^2 - 2x + 1 = 0 \) => \( (x-1)^2 = 0 \) => \( x = 1 \). Это одна общая точка. - Шаг 6: Объединяем все случаи. Ровно одна общая точка получается при \( k = -5/2 \), \( k = 2 \), \( k = -2 \).
Ответ: Значения k, при которых прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку: \( k=-2, k=2, k=-5/2 \).
