Постройте график функции y = (x+1)(x²-4) / (x²-x-2). Определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

Решение:

1. Упростим выражение для функции:
   \( y = \frac{(x+1)(x^2-4)}{x^2-x-2} = \frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} \)
2. Сократим дробь, учитывая, что \( x \neq 2 \) и \( x \neq -1 \):
   \( y = x+2 \)
3. Таким образом, график функции — это прямая \( y = x+2 \), но с выколотыми точками в местах, где \( x = 2 \) и \( x = -1 \).
4. Найдем координаты выколотых точек:
   При \( x = 2 \): \( y = 2+2 = 4 \). Точка \( (2, 4) \) выколота.
   При \( x = -1 \): \( y = -1+2 = 1 \). Точка \( (-1, 1) \) выколота.
5. Теперь определим, при каких \( k \) прямая \( y=kx \) не имеет общих точек с графиком. Для этого приравняем \( kx \) к \( x+2 \) и выясним, когда уравнение не будет иметь решений, или когда решения будут совпадать с выколотыми точками.
   \( kx = x+2 \)
   \( kx - x = 2 \)
   \( x(k-1) = 2 \)
6. Если \( k=1 \), то \( x(1-1) = 2 \), то есть \( 0 = 2 \), что невозможно. Следовательно, при \( k=1 \) прямая \( y=x \) параллельна прямой \( y=x+2 \) и не имеет с ней общих точек.
7. Если \( k \neq 1 \), то \( x = \frac{2}{k-1} \).
   Теперь проверим, когда это решение совпадает с координатами выколотых точек.
   Случай 1: \( x = 2 \).
   \( 2 = \frac{2}{k-1} \)
   \( 2(k-1) = 2 \)
   \( k-1 = 1 \)
   \( k = 2 \).
   Когда \( k=2 \), прямая \( y=2x \) проходит через выколотую точку \( (2, 4) \).
8. Случай 2: \( x = -1 \).
   \( -1 = \frac{2}{k-1} \)
   \( -(k-1) = 2 \)
   \( -k+1 = 2 \)
   \( -k = 1 \)
   \( k = -1 \).
   Когда \( k=-1 \), прямая \( y=-x \) проходит через выколотую точку \( (-1, 1) \).
9. Итак, прямая \( y=kx \) не будет иметь общих точек с графиком функции, если она параллельна прямой \( y=x+2 \) (то есть \( k=1 \)) или если она проходит через одну из выколотых точек, но при этом не пересекает остальную часть графика.
   Мы нашли, что при \( k=2 \) прямая \( y=2x \) проходит через точку \( (2, 4) \), а при \( k=-1 \) — через точку \( (-1, 1) \).
   Таким образом, прямая \( y=kx \) не имеет общих точек с графиком, если \( k=1 \) (параллельна) или если \( k=2 \) или \( k=-1 \) (проходит через выколотые точки).

Ответ: прямая \( y=kx \) не имеет общих точек с графиком функции при \( k=1 \), \( k=2 \) и \( k=-1 \).