Постройте график функции y = x² + 14x − 3|x + 8| + 48. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль по определению:

\( |x+8|=\begin{cases}x+8, & x\ge -8,\\ -(x+8), & x<-8.\end{cases} \)

Поэтому

\[y=\begin{cases}x^2+14x-3(x+8)+48=x^2+11x+24, & x\ge -8,\\ x^2+14x+3(x+8)+48=x^2+17x+72, & x<-8.\end{cases}\]

1. Правая ветвь: \(y=x^2+11x+24\), \(x\ge -8\).

Вершина параболы:

\[x_0=-\frac{11}{2},\qquad y_0=\left(-\frac{11}{2}\right)^2+11\left(-\frac{11}{2}\right)+24=-\frac{25}{4}.\]

На этой ветви горизонтальная прямая пересекает график в двух точках при \(-\frac{25}{4}\le m<0\), в одной точке при \(m\ge 0\).

2. Левая ветвь: \(y=x^2+17x+72\), \(x<-8\).

Вершина:

\[x_0=-\frac{17}{2},\qquad y_0=\left(-\frac{17}{2}\right)^2+17\left(-\frac{17}{2}\right)+72=-\frac14.\]

Эта ветвь пересекает прямую \(y=m\) в двух точках при \(-\frac14

Считаем общее количество пересечений:

• при \(m=-\frac14\): две точки на правой ветви и одна на левой;
• при \(m=0\): две точки на правой ветви и одна на левой.

Для наглядности: при \(m=0\) точки пересечения имеют абсциссы \(-9\), \(-8\), \(-3\). При \(m=-\frac14\) левая ветвь касается прямой в своей вершине, а правая ветвь пересекает её в двух точках.

Ответ: \(m=-\frac14\) или \(m=0\).