Постройте график функции y=((x^2+1)(x-2))/(2-x). Определите, при каких значениях параметра k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne2\).

Так как \(x-2=-(2-x)\), то

\[y=-\frac{(x^2+1)(x-2)}{x-2}=-(x^2+1)=-x^2-1,\qquad x\ne2.\]

График — парабола \(y=-x^2-1\) с вершиной \((0;-1)\), направленная ветвями вниз, но точка \((2;-5)\) выколота.

Для пересечения с прямой \(y=kx\):

\[-x^2-1=kx,\]

\[x^2+kx+1=0.\]

Нужно учитывать, что корень \(x=2\) не входит в область определения. При \(x=2\) получаем \(4+2k+1=0\), откуда \(k=-\frac52\). При этом квадратное уравнение имеет корни \(2\) и \(\frac12\), поэтому допустимая точка только одна.

В остальных случаях ровно один допустимый корень получается при нулевом дискриминанте:

\[D=k^2-4=0,\qquad k=\pm2.\]

При \(k=2\) корень \(x=-1\), а при \(k=-2\) корень \(x=1\); оба допустимы.

Ответ: \(k\in\left\{-2;2;-\frac52\right\}\).