Постройте график функции y = { x^2 - 10x + 25, x >= 4; x - 2, x < 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Для начала построим график заданной функции. Функция состоит из двух частей:

• y = x2 - 10x + 25 при x ≥ 4. Это часть параболы. Вершина параболы находится в точке x = -(-10)/(2*1) = 5. Значение y в вершине: 5² - 10*5 + 25 = 0. То есть вершина в (5, 0). При x = 4, y = 4² - 10*4 + 25 = 16 - 40 + 25 = 1. Таким образом, при x=4 значение функции равно 1.
• y = x - 2 при x < 4. Это часть прямой линии. При x = 4, y = 4 - 2 = 2. Точка (4, 2) не включается в эту часть графика (кружок будет выколот). При x = 0, y = -2.

Теперь проанализируем, при каких значениях m прямая y = m (горизонтальная линия) пересекает график ровно в двух точках.

• Часть параболы (x ≥ 4): Вершина параболы находится в точке (5, 0). Правая ветвь параболы идет вверх от вершины. При x=4 значение y=1. Следовательно, для значений m ≥ 0, прямая y = m может пересекать эту часть графика. Для m > 0, парабола даст одно пересечение. Для m = 0, будет одно пересечение (вершина).
• Часть прямой (x < 4): Это линия с наклоном. При x = 4, y = 2 (точка не включена). Для m < 2, прямая y = m даст одно пересечение.

Соединяем эти наблюдения:

• Если m = 0, прямая y = 0 пересекает график в одной точке (вершине параболы).
• Если 0 < m < 1, прямая y = m пересекает график в двух точках: одна на параболе (так как m > 0) и одна на прямой (так как m < 2).
• Если m = 1, прямая y = 1 пересекает график в двух точках: одна на параболе (при x=4) и одна на прямой (так как m < 2).
• Если 1 < m < 2, прямая y = m пересекает график в двух точках: одна на параболе (так как m > 0) и одна на прямой (так как m < 2).
• Если m = 2, прямая y = 2 пересекает график в одной точке на параболе (так как m > 0) и подходит к выколотой точке на прямой.
• Если m > 2, прямая y = m пересекает график только на параболе (одна точка).

Таким образом, прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки при:

• 0 < m < 2.

Рассмотрим предложенные варианты:

• m = 0 - одна точка.
• 2 < m < 3 - одна точка (на параболе).
• m = 5 - одна точка (на параболе).
• 1 < m < 2 - две точки.
• m > 4 - одна точка (на параболе).

Наиболее точный интервал, удовлетворяющий условию, это 1 < m < 2. Также, если 0 < m < 1, будет две точки. Интервал 0 < m < 2 объединяет оба случая.

По условию задачи, нужно выбрать из предложенных вариантов. Вариант 1 < m < 2 дает две точки пересечения.