Постройте график функции y = ((x^2 + 2.25)(x - 1)) / (1 - x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Построение графика:

Для начала упростим функцию:

$$ y = \frac{(x^2 + 2.25)(x - 1)}{1 - x} $$

Обрати внимание, что знаменатель $$(1 - x)$$ равен $$-(x - 1)$$. Мы можем переписать функцию так:

$$ y = \frac{(x^2 + 2.25)(x - 1)}{-(x - 1)} $$

При условии, что $$(x
eq 1)$$, мы можем сократить $$(x - 1)$$.

$$ y = -(x^2 + 2.25) $$

$$ y = -x^2 - 2.25 $$

Это уравнение параболы с вершиной в точке $$(0; -2.25)$$, ветви которой направлены вниз. Однако, нужно помнить, что $$(x
eq 1)$$.

Подставим $$(x = 1)$$ в исходную формулу, чтобы найти точку, которая "выколота" из графика:

$$ y = \frac{(1^2 + 2.25)(1 - 1)}{1 - 1} = \frac{(1 + 2.25)(0)}{0} = \frac{0}{0} $$

Это неопределенность. Найдем предел при $$(x \to 1)$$, чтобы определить значение "выколотой" точки:

$$ \lim_{x \to 1} \frac{(x^2 + 2.25)(x - 1)}{1 - x} = \lim_{x \to 1} -(x^2 + 2.25) = -(1^2 + 2.25) = -3.25 $$

Таким образом, график функции $$ y = -x^2 - 2.25 $$ имеет "выколотую" точку в $$(1; -3.25)$$.

Анализ прямой $$ y = kx $$:

Прямая $$ y = kx $$ — это прямая, проходящая через начало координат $$(0; 0)$$. Чтобы эта прямая имела ровно одну общую точку с графиком нашей параболы, она должна:

1. Либо касаться параболы.
2. Либо проходить через "выколотую" точку $$(1; -3.25)$$.

Случай 1: Прямая касается параболы

Для этого нужно, чтобы уравнение $$-x^2 - 2.25 = kx$$ имело ровно одно решение. Перенесем все в одну сторону:

$$ -x^2 - kx - 2.25 = 0 $$

$$ x^2 + kx + 2.25 = 0 $$

Это квадратное уравнение. Чтобы оно имело ровно одно решение, его дискриминант должен быть равен нулю:

$$ D = b^2 - 4ac = 0 $$

$$ k^2 - 4(1)(2.25) = 0 $$

$$ k^2 - 9 = 0 $$

$$ k^2 = 9 $$

$$ k = 3 $$ или $$ k = -3 $$

Случай 2: Прямая проходит через "выколотую" точку $$(1; -3.25)$$.

Подставим координаты этой точки в уравнение прямой $$ y = kx $$:

$$ -3.25 = k(1) $$

$$ k = -3.25 $$

Теперь соберем все значения $$ k $$: $$-3, -3.25, 3$$.

Проверим, какие из этих значений $$k$$ соответствуют условию ровно одной общей точки. Если $$k = 3$$ или $$k = -3$$, прямая касается параболы (одна точка пересечения). Если $$k = -3.25$$, прямая проходит через выколотую точку $$(1; -3.25)$$ и еще одну точку параболы.

Давайте проверим $$k = -3.25$$.

$$ -x^2 - 2.25 = -3.25x $$

$$ x^2 - 3.25x + 2.25 = 0 $$

$$ 4x^2 - 13x + 9 = 0 $$

$$ D = (-13)^2 - 4(4)(9) = 169 - 144 = 25 $$

$$ x = \frac{13 \pm 5}{8} $$

$$ x_1 = \frac{18}{8} = 2.25 $$

$$ x_2 = \frac{8}{8} = 1 $$

Так как $$x=1$$ является "выколотой" точкой, то при $$k = -3.25$$ прямая $$y=kx$$ имеет ровно одну общую точку с графиком ($$x=2.25$$).

Если $$k = 3$$, то $$x^2 + 3x + 2.25 = 0$$. $$D = 3^2 - 4(1)(2.25) = 9 - 9 = 0$$. $$x = -3/2 = -1.5$$. Одна точка пересечения.

Если $$k = -3$$, то $$x^2 - 3x + 2.25 = 0$$. $$D = (-3)^2 - 4(1)(2.25) = 9 - 9 = 0$$. $$x = 3/2 = 1.5$$. Одна точка пересечения.

Ответ: $$ k = -3 $$, $$ k = 3 $$, $$ k = -3.25 $$