Постройте график функции y = (x² + 2,25) (x - 1) / (1 - x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Сначала упростим функцию:

\( y = \frac{(x^2 + 2.25)(x - 1)}{1 - x} \)

Заметим, что \( 1 - x = -(x - 1) \). При \( x \neq 1 \) можем сократить \( (x-1) \):

\( y = \frac{(x^2 + 2.25)}{-(1)} = -(x^2 + 2.25) = -x^2 - 2.25 \)

Таким образом, график функции — парабола \( y = -x^2 - 2.25 \) с выколотой точкой при \( x = 1 \).

Найдем значение \( y \) для выколотой точки:

\( y(1) = -(1^2) - 2.25 = -1 - 2.25 = -3.25 \).

Итак, это парабола \( y = -x^2 - 2.25 \) с выколотой точкой \( (1, -3.25) \).

Теперь рассмотрим прямую \( y = kx \). Нам нужно найти такие значения \( k \), при которых прямая имеет ровно одну общую точку с параболой. Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат \( (0, 0) \).

Приравниваем уравнения параболы и прямой:

\( -x^2 - 2.25 = kx \)

\( x^2 + kx + 2.25 = 0 \)

Чтобы прямая и парабола имели ровно одну общую точку, это квадратное уравнение должно иметь один корень, который не равен 1 (так как точка \( x = 1 \) выколота).

Дискриминант уравнения должен быть равен нулю:

\[ D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2.25 = 0 \]

\[ k^2 - 9 = 0 \]

\[ k^2 = 9 \]

\[ k = \pm 3 \]

Теперь проверим, не является ли корень \( x = 1 \) при этих значениях \( k \).

Если \( k = 3 \):

\[ x^2 + 3x + 2.25 = 0 \]

Корень этого уравнения: \( x = \frac{-3}{2} = -1.5 \). Это не \( x=1 \), значит \( k = 3 \) подходит.

Если \( k = -3 \):

\[ x^2 - 3x + 2.25 = 0 \]

Корень этого уравнения: \( x = \frac{3}{2} = 1.5 \). Это не \( x=1 \), значит \( k = -3 \) подходит.

Однако, нам нужно учесть выколотую точку \( (1, -3.25) \). Прямая \( y = kx \) должна пересекать параболу в одной точке, не являющейся выколотой. Если прямая проходит через выколотую точку, то это тоже одна общая точка (если она единственная).

Проверим, проходит ли прямая \( y = kx \) через выколотую точку \( (1, -3.25) \).

\[ -3.25 = k \cdot 1 \]

\[ k = -3.25 \]

Если \( k = -3.25 \), то уравнение \( x^2 - 3.25x + 2.25 = 0 \) имеет корни \( x = 1 \) и \( x = 2.25 \). В этом случае прямая пересекает параболу в двух точках: \( (1, -3.25) \) (выколотая) и \( (2.25, -3.25 \times 2.25) = (2.25, -7.3125) \). Значит, для \( k = -3.25 \) есть одна реальная общая точка.

Таким образом, ровно одна общая точка достигается, когда:

1. Дискриминант равен нулю (один корень, не равный 1): \( k = ±3 \).
2. Прямая проходит через выколотую точку, и этот корень является единственным: \( k = -3.25 \).

Ответ: k = 3, k = -3, k = -3.25.