Постройте график функции $y=x^2-8x+13$. Найдите с помощью графика: а) значение $y$ при $x=1{,}5$; б) значения $x$, при которых $y=2$; в) нули функции; промежутки, в которых $y>0$ и в которых $y<0$; г) промежуток, в котором функция убывает.

Question

Вопрос: $Фото задания: Постройте график функции $y=x^2-8x+13$. Найдите с помощью графика: а) значение $y$ при $x=1{,}5$; б) значения $x$,…$ Фото задания

Постройте график функции $y=x^2-8x+13$. Найдите с помощью графика: а) значение $y$ при $x=1{,}5$; б) значения $x$, при которых $y=2$; в) нули функции; промежутки, в которых $y>0$ и в которых $y<0$; г) промежуток, в котором функция убывает.

Accepted Answer

Преобразуем выражение, чтобы определить вершину параболы и направление её ветвей: $y=x^2-8x+13=(x-4)^2-3$. Вершина графика — точка $(4;-3)$, ветви направлены вверх.

а) Подставим $x=1.5$: $y=1.5^2-8\cdot1.5+13=2.25-12+13=3.25$.

б) Приравняем функцию к 2: $(x-4)^2-3=2$, поэтому $(x-4)^2=5$ и $x=4\pm\sqrt5$.

в) Нули функции найдём из уравнения $(x-4)^2-3=0$: $x=4\pm\sqrt3$. Поскольку парабола направлена вверх, функция положительна вне корней и отрицательна между ними: $y>0$ при $x\in(-\infty;4-\sqrt3)\cup(4+\sqrt3;+\infty)$; $y<0$ при $x\in(4-\sqrt3;4+\sqrt3)$.

г) До вершины парабола убывает, а после вершины возрастает. Следовательно, функция убывает на $(-\infty;4]$.

Ответ: а) 3,25; б) $x=4\pm\sqrt5$; в) нули $4\pm\sqrt3$, $y>0$ на $(-\infty;4-\sqrt3)\cup(4+\sqrt3;+\infty)$, $y<0$ на $(4-\sqrt3;4+\sqrt3)$; г) функция убывает на $(-\infty;4]$.