Постройте график функции y = { x² + 2x + 1 при x ≥ −4; −36/x при x < −4 } и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком одну или две общие точки.

Функцию удобно записать так: \(y=(x+1)^2\) при \(x\geq-4\) и \(y=-\frac{36}{x}\) при \(x<-4\).

Первая часть — правая часть параболы с вершиной \((-1;0)\), ограниченная условием \(x\geq-4\). При \(x=-4\) получаем включённую точку \((-4;9)\).

Вторая часть — ветвь гиперболы \(y=-\frac{36}{x}\) при \(x<-4\). Она принимает значения от \(0\) до \(9\), но значения \(0\) и \(9\) не достигаются.

Рассмотрим горизонтальную прямую \(y=m\).

1. При \(m<0\) общих точек нет.
2. При \(m=0\) прямая касается параболы в вершине \((-1;0)\), поэтому общая точка одна.
3. При \(0
4. При \(m=9\) парабола пересекается с прямой в точках \((-4;9)\) и \((2;9)\). Гипербола точки \((-4;9)\) не содержит, поэтому всего две общие точки.
5. При \(m>9\) остаётся только одна точка пересечения с правой ветвью параболы.

Ответ: одну общую точку прямая имеет при \(m=0\) или \(m>9\); две общие точки — при \(m=9\).