Постройте график функции y = -x² - 2x. Укажите, при каких значениях х функция принимает отрицательные значения.

Решение:

Чтобы построить график функции \( y = -x^2 - 2x \), найдём координаты вершины параболы.

Координата x вершины находится по формуле: \( x_в = -\frac{b}{2a} \). В данном случае \( a = -1 \) и \( b = -2 \).

\( x_в = -\frac{-2}{2(-1)} = -\frac{-2}{-2} = -1 \)

Теперь найдём координату y вершины, подставив \( x_в = -1 \) в уравнение функции:

\( y_в = -(-1)^2 - 2(-1) = -(1) + 2 = -1 + 2 = 1 \)

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (-1; 1) \).

Парабола имеет ветви, направленные вниз, так как коэффициент \( a = -1 < 0 \).

Для нахождения точек пересечения с осью x, приравняем функцию к нулю:

\( -x^2 - 2x = 0 \)
\( -x(x + 2) = 0 \)

Отсюда \( -x = 0 \) или \( x + 2 = 0 \).

Получаем \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -2 \).

Теперь определим, при каких значениях \( x \) функция принимает отрицательные значения. Это происходит там, где график лежит ниже оси x. Наша парабола пересекает ось x в точках -2 и 0, и её ветви направлены вниз. Следовательно, функция будет отрицательной вне отрезка [-2; 0].

Функция принимает отрицательные значения при \( x < -2 \) и \( x > 0 \).

Ответ: Функция принимает отрицательные значения при \( x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) \).