Постройте график функции y = x^3 - 3x с помощью производной.

Решение:

Чтобы построить график функции \( y = x^3 - 3x \) с помощью производной, выполним следующие шаги:

1. Найдём первую производную функции:
   \( y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \[ 3x^2 - 3 = 0 \]
   \[ 3x^2 = 3 \]
   \[ x^2 = 1 \]
   \[ x = ± 1 \]
3. Определим знаки производной на интервалах:
   
   • При \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( y' = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \) — функция возрастает.
   • При \( -1 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( y' = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 \) — функция убывает.
   • При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( y' = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \) — функция возрастает.
4. Найдем значения функции в критических точках:
   
   • При \( x = -1 \): \( y = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \). Точка максимума: \( (-1, 2) \).
   • При \( x = 1 \): \( y = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \). Точка минимума: \( (1, -2) \).
5. Найдем точки пересечения с осями:
   
   • С осью Oy: Положим \( x = 0 \). \( y = 0^3 - 3(0) = 0 \). Точка пересечения: \( (0, 0) \).
   • С осью Ox: Положим \( y = 0 \). \( x^3 - 3x = 0 \)
     \[ x(x^2 - 3) = 0 \]
     \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 = 3 \]
     \[ x = 0, \quad x = ± √{3} ≈ ± 1.73 \]. Точки пересечения: \( (-√{3}, 0), (0, 0), (√{3}, 0) \).
6. Вторая производная (для определения выпуклости/вогнутости):
   \[ y'' = (3x^2 - 3)' = 6x \]
   
   • При \( x < 0 \): \( y'' = 6x < 0 \) — график выпуклый вверх (вогнутый).
   • При \( x > 0 \): \( y'' = 6x > 0 \) — график выпуклый вниз (выпуклый).

   Точка перегиба: \( x = 0 \), \( y = 0 \).

7. Построим график, используя найденные точки и информацию о возрастании/убывании и выпуклости.

Ответ: График функции \( y = x^3 - 3x \) построен с использованием производной, указаны точки максимума \( (-1, 2) \), минимума \( (1, -2) \), точки пересечения с осями \( (-√{3}, 0), (0, 0), (√{3}, 0) \) и точка перегиба \( (0, 0) \).