Постройте график функции y = x^3 - 4x и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три точки пересечения.

Решение:

Построим график функции \( y = x^3 - 4x \). Для этого найдём производную функции и критические точки:

\( y' = 3x^2 - 4 \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти экстремумы:

\( 3x^2 - 4 = 0 \)

\( 3x^2 = 4 \)

\( x^2 = \frac{4}{3} \)

\( x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \)

Теперь найдём значения функции в этих точках:

При \( x = \frac{2\sqrt{3}}{3} \):

\( y = \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^3 - 4\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{8 \cdot 3\sqrt{3}}{27} - \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{24\sqrt{3}}{27} - \frac{72\sqrt{3}}{27} = \frac{8\sqrt{3}}{9} - \frac{24\sqrt{3}}{9} = -\frac{16\sqrt{3}}{9} \)

При \( x = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \):

\( y = \left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^3 - 4\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{24\sqrt{3}}{27} + \frac{8\sqrt{3}}{3} = -\frac{8\sqrt{3}}{9} + \frac{24\sqrt{3}}{9} = \frac{16\sqrt{3}}{9} \)

Таким образом, локальный максимум функции равен \( \frac{16\sqrt{3}}{9} \) (при \( x = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \)), а локальный минимум равен \( -\frac{16\sqrt{3}}{9} \) (при \( x = \frac{2\sqrt{3}}{3} \)).

Прямая \( y = m \) будет иметь с графиком ровно три точки пересечения, если значение \( m \) находится строго между значениями локального минимума и локального максимума.

\( -\frac{16\sqrt{3}}{9} < m < \frac{16\sqrt{3}}{9} \)

Приблизительные значения:

\( \sqrt{3} \approx 1.732 \)

\( \frac{16 \cdot 1.732}{9} \approx \frac{27.712}{9} \approx 3.079 \)

Значит, \( -3.079 < m < 3.079 \).

Ответ: \( m \) находится в интервале \( \left(-\frac{16\sqrt{3}}{9}; \frac{16\sqrt{3}}{9}\right) \).