Постройте график функции y = (x-3)(x²+6x+8) / (x+2) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

1. Упростим выражение функции. Разложим квадратный трёхчлен \( x^2 + 6x + 8 \) на множители.
   Найдём корни уравнения \( x^2 + 6x + 8 = 0 \):
   \( D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \)
   \( x_1 = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 + 2}{2} = -2 \)
   \( x_2 = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 - 2}{2} = -4 \)
   Таким образом, \( x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4) \).
2. Подставим разложенный трёхчлен в функцию:
   \( y = \frac{(x - 3)(x + 2)(x + 4)}{x + 2} \)
3. При \( x \ne -2 \) можно сократить \( (x + 2) \):
   \( y = (x - 3)(x + 4) \)
4. Раскроем скобки:
   \( y = x^2 + 4x - 3x - 12 \)
   \( y = x^2 + x - 12 \)
5. Это уравнение параболы. Найдём координаты вершины параболы:
   \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2 \cdot 1} = -0.5 \)
   \( y_в = (-0.5)^2 + (-0.5) - 12 = 0.25 - 0.5 - 12 = -12.25 \).
   Координаты вершины: \( (-0.5; -12.25) \).
6. График функции — парабола \( y = x^2 + x - 12 \) с выколотой точкой при \( x = -2 \).
   Найдем значение \( y \) для выколотой точки:
   \( y = (-2)^2 + (-2) - 12 = 4 - 2 - 12 = -10 \).
   Выколотая точка имеет координаты \( (-2; -10) \).
7. Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
   Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия.
8. Если \( m \) равно значению \( y \) в вершине параболы, то прямая имеет одну общую точку с графиком: \( m = -12.25 \).
9. Если \( m \) равно значению \( y \) в выколотой точке, то прямая также будет иметь ровно одну общую точку с графиком (так как сама точка выколота, но линия проходит через неё): \( m = -10 \).
10. Для всех остальных значений \( m \) (кроме \( y_в \) и \( y_{выкл. точки}\)), прямая пересекает параболу в двух точках.

Ответ: \( m = -12.25 \) и \( m = -10 \).