Постройте график функции y = x² - 3|x| - x и определите, при каких значениях т прямая y = т имеет с графиком не менее двух, но не более трёх общих точек.

Решение:

Рассмотрим функцию \( y = x^2 - 3|x| - x \). Поскольку функция содержит \( |x| \), она является чётной относительно \( x \) только если её привести к виду \( y = x^2 - 3|x| \), но здесь присутствует член \( -x \), поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.

Рассмотрим два случая:

1. При \( x ≥ 0 \): \( |x| = x \). Функция принимает вид:

\[ y = x^2 - 3x - x = x^2 - 4x \]

Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке \( x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \). Значение \( y \) в вершине: \( y_v = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4 \). Точка пересечения с осью \( y \) (при \( x=0 \)) — \( (0, 0) \).

2. При \( x < 0 \): \( |x| = -x \). Функция принимает вид:

\[ y = x^2 - 3(-x) - x = x^2 + 3x - x = x^2 + 2x \]

Это также парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке \( x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \). Значение \( y \) в вершине: \( y_v = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 \). Точка пересечения с осью \( y \) (при \( x=0 \)) — \( (0, 0) \).

Построим график:

• Для \( x ≥ 0 \): парабола \( y = x^2 - 4x \) с вершиной в \( (2, -4) \) и проходит через \( (0, 0) \) и \( (4, 0) \).
• Для \( x < 0 \): парабола \( y = x^2 + 2x \) с вершиной в \( (-1, -1) \) и проходит через \( (0, 0) \) и \( (-2, 0) \).

Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком не менее двух, но не более трёх общих точек.

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Рассмотрим, сколько точек пересечения она образует с графиком:

• Если \( m < -4 \), прямая не пересекает график (0 точек).
• Если \( m = -4 \), прямая касается графика в точке \( (2, -4) \) (1 точка).
• Если \( -4 < m < -1 \), прямая пересекает график в двух точках (2 точки).
• Если \( m = -1 \), прямая пересекает график в трёх точках: одна точка на левой ветке \( y = x^2 + 2x \) (при \( x = -2 \)), и две точки на правой ветке \( y = x^2 - 4x \) (при \( x = 2 \) и \( x = 0 \)). Ошибка в предыдущем рассуждении: при \( m=-1 \) для \( x<0 \) \( y=x^2+2x \) -> \( -1 = x^2+2x \) -> \( x^2+2x+1=0 \) -> \( (x+1)^2=0 \) -> \( x=-1 \). Для \( x ≥ 0 \) \( y=x^2-4x \) -> \( -1 = x^2-4x \) -> \( x^2-4x+1=0 \). \( x = \frac{4 ± \sqrt{16-4}}{2} = \frac{4 ± \sqrt{12}}{2} = 2 ± \sqrt{3} \). Оба корня положительные. Таким образом, при \( m=-1 \) 3 точки.
• Если \( -1 < m < 0 \), прямая пересекает график в четырёх точках.
• Если \( m = 0 \), прямая пересекает график в трёх точках: \( (0, 0) \), \( (-2, 0) \) и \( (4, 0) \).
• Если \( m > 0 \), прямая пересекает график в двух точках.

Нам нужно, чтобы прямая \( y = m \) имела не менее двух, но не более трёх общих точек.

Это происходит, когда:

• \( -4 < m < -1 \) (2 точки)
• \( m = -1 \) (3 точки)
• \( m = 0 \) (3 точки)
• \( m > 0 \) (2 точки)

Объединяя эти интервалы, получаем, что \( m \) должно быть больше \( -4 \) и меньше \( -1 \), либо равно \( -1 \), либо равно \( 0 \), либо больше \( 0 \).

Условие "не менее двух" означает \( m ≥ -4 \) (если считать точку касания как одну, но это не так) или \( m > -4 \). Условие "не более трёх" означает \( m ≤ 0 \) (при \( m=0 \) 3 точки) или \( -1 ≤ m < 0 \) (2 точки) или \( m < -1 \) (2 точки).

Повторно анализируем количество точек:

• \( m < -4 \): 0 точек
• \( m = -4 \): 1 точка (касание)
• \( -4 < m < -1 \): 2 точки
• \( m = -1 \): 3 точки
• \( -1 < m < 0 \): 4 точки
• \( m = 0 \): 3 точки
• \( m > 0 \): 2 точки

Итак, нам нужны случаи, где количество точек равно 2 или 3.

Количество точек = 2: \( -4 < m < -1 \) или \( m > 0 \).

Количество точек = 3: \( m = -1 \) или \( m = 0 \).

Объединяя эти условия, получаем:

\( (-4 < m < -1) ∪ \{ m = -1 \} ∪ \{ m = 0 \} ∪ (m > 0) \)

Это эквивалентно \( m > -4 \) и \( m ≠ -1 < m < 0 \).

Правильное объединение интервалов для 2 или 3 точек:

\( m ∈ (-4, -1) ∪ \{ -1 \} ∪ \{ 0 \} ∪ (0, ∞) \)

Это можно записать как:

\( m ∈ (-4, 0] ∪ (0, ∞) \) при \( m ≠ -1 \) и \( m = -1 \) или \( m = 0 \).

Нам нужно \( m \) так, чтобы было \( ≥ 2 \) и \( ≤ 3 \) точек.

\( m ∈ (-4, -1) ∪ \{-1\} ∪ \{0\} ∪ (0, ∞) \)

Это означает, что \( m \) может быть в интервале \( (-4, -1) \) (2 точки), \( m = -1 \) (3 точки), \( m = 0 \) (3 точки), или \( m > 0 \) (2 точки).

Следовательно, \( m \) должно быть больше \( -4 \) и либо меньше \( -1 \), либо равно \( -1 \), либо равно \( 0 \), либо больше \( 0 \).

Это значит, что \( m \) принадлежит объединению интервалов \( (-4, -1] ∪ [0, ∞) \).

Ответ: \( m ∈ (-4, -1] ∪ [0, ∞) \).