Постройте график функции y = x³ - 3x с помощью производной.

Решение:

1. Находим производную функции:

\( y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3 \)

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

\( 3x^2 - 3 = 0 \)
\( 3x^2 = 3 \)
\( x^2 = 1 \)
\( x = \pm 1 \)

3. Определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Выберем точки для проверки знака производной:

• При \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -1 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( y'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \). Функция возрастает.

4. Находим значения функции в критических точках:

• При \( x = -1 \): \( y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \). Точка максимума: (-1, 2).
• При \( x = 1 \): \( y(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \). Точка минимума: (1, -2).

5. Строим график:

Отмечаем на координатной плоскости найденные точки (-1, 2) и (1, -2). Используя информацию о возрастании и убывании, строим эскиз графика кубической функции.

Ответ: График построен с учётом точек максимума (-1, 2) и минимума (1, -2).