Постройте график функции y = (x^4 - 13x^2 + 36) / ((x - 3)(x + 2)) и определите, при каких значениях параметра c прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Сначала упростим функцию, разложив числитель на множители. Заметим, что \( x^4 - 13x^2 + 36 \) является биквадратным уравнением. Сделаем замену \( t = x^2 \): \( t^2 - 13t + 36 = 0 \). Дискриминант \( D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 \). \( t_1 = \frac{13 + 5}{2} = 9 \), \( t_2 = \frac{13 - 5}{2} = 4 \). Следовательно, \( x^2 = 9 \) или \( x^2 = 4 \). Отсюда \( x = \pm 3 \) или \( x = \pm 2 \). Таким образом, \( x^4 - 13x^2 + 36 = (x^2 - 9)(x^2 - 4) = (x-3)(x+3)(x-2)(x+2) \).

Теперь функция выглядит так: \( y = \frac{(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+2)} \).

Сокращаем дробь, учитывая, что \( x \neq 3 \) и \( x \neq -2 \). Тогда \( y = (x+3)(x-2) = x^2 + x - 6 \).

Это парабола с вершиной в точке \( x = -\frac{1}{2} \). \( y = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1 - 2 - 24}{4} = - \frac{25}{4} = -6.25 \). Точка вершины: \( (-0.5, -6.25) \).

У графика есть выколотые точки при \( x = 3 \) и \( x = -2 \).

• При \( x = 3 \): \( y = 3^2 + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 \). Выколотая точка \( (3, 6) \).
• При \( x = -2 \): \( y = (-2)^2 + (-2) - 6 = 4 - 2 - 6 = -4 \). Выколотая точка \( (-2, -4) \).

График — парабола \( y = x^2 + x - 6 \) с выколотыми точками \( (3, 6) \) и \( (-2, -4) \).

Прямая \( y = c \) имеет ровно одну общую точку с графиком в следующих случаях:

1. Если \( y = c \) проходит через вершину параболы, но не через выколотые точки. В данном случае это \( c = -6.25 \).
2. Если \( y = c \) совпадает с координатой одной из выколотых точек, а другая выколотая точка не является вершиной.
3. Если \( y = c \) является горизонтальной касательной к параболе.

Рассмотрим горизонтальные прямые \( y = c \). Парабола \( y = x^2 + x - 6 \) симметрична относительно своей оси \( x = -0.5 \).

Если \( c > 6 \) (выше выколотой точки \( (3, 6) \)), то прямая \( y = c \) пересекает параболу в двух точках.

Если \( c = 6 \), то прямая \( y = c \) совпадает со значением в выколотой точке \( (3, 6) \), но при этом пересекает параболу ещё в одной точке (симметричной ей относительно \( x = -0.5 \)). Получается две точки.

Если \( -4 < c < 6 \) (между значениями выколотых точек), прямая \( y = c \) пересекает параболу в двух точках.

Если \( c = -4 \), то прямая \( y = c \) проходит через выколотую точку \( (-2, -4) \) и ещё одну точку на параболе (симметричную ей относительно \( x = -0.5 \)). Получается две точки.

Если \( -6.25 < c < -4 \), прямая \( y = c \) пересекает параболу в двух точках.

Если \( c = -6.25 \) (значение вершины), прямая \( y = c \) является касательной к параболе в вершине, это одна точка.

Если \( c < -6.25 \), прямая \( y = c \) пересекает параболу в двух точках.

Таким образом, прямая \( y = c \) имеет ровно одну общую точку с графиком, когда \( y = c \) совпадает со значением вершины параболы, то есть \( c = -6.25 \). Также, если \( y = c \) проходит через одну из выколотых точек, и эта прямая не пересекает параболу в другой точке. Но так как у параболы есть только одна вершина, при \( c = -6.25 \) — одна точка. Для того чтобы получить одну точку, нужно, чтобы \( y = c \) проходила через одну из выколотых точек, и не пересекала остальную часть графика. Но из-за симметрии параболы, для любого \( c \) кроме вершины, будет две точки пересечения, если \( c \) не является значением выколотой точки.

Нам нужно, чтобы прямая \( y = c \) имела ровно одну точку пересечения. Это произойдет, если \( c \) будет равно значению вершины параболы, и эта точка не будет выколотой. В нашем случае вершина \( (-0.5, -6.25) \) не выколота.

Также, если \( c \) равно значению одной из выколотых точек, и это значение достигается только в этой выколотой точке. Однако, для \( c=6 \) и \( c=-4 \) есть еще по одной точке пересечения на параболе.

Следовательно, единственное значение \( c \), при котором прямая \( y = c \) имеет ровно одну общую точку с графиком, это значение вершины параболы.

Ответ: c = -6.25