Постройте график функции y = (x+4)(x^2+3x+2)/(x+1) и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Краткое пояснение:

Решение:

1. Упрощение функции:

   Разложим числитель на множители:

   • \( x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2) \)

   Теперь подставим это обратно в дробь:

   • \( y = \frac{(x+4)(x+1)(x+2)}{x+1} \)

   При \( x
   eq -1 \), мы можем сократить \( (x+1) \):

   • \( y = (x+4)(x+2) \)
   • \( y = x^2 + 2x + 4x + 8 \)
   • \( y = x^2 + 6x + 8 \)

   Это уравнение параболы. Однако, необходимо учесть, что \( x
   eq -1 \). Найдем значение \( y \) при \( x = -1 \):

   • \( y = (-1)^2 + 6(-1) + 8 = 1 - 6 + 8 = 3 \)

   Таким образом, график функции представляет собой параболу \( y = x^2 + 6x + 8 \) с выколотой точкой в \( (-1, 3) \).

2. Построение графика:

   График функции \( y = x^2 + 6x + 8 \) — парабола. Найдем вершину параболы:

   • \( x_{вершины} = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3 \)
   • \( y_{вершины} = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 \)

   Вершина параболы находится в точке \( (-3, -1) \).

   График — парабола с вершиной в точке \( (-3, -1) \), ветви направлены вверх. Также на графике отмечена выколотая точка \( (-1, 3) \).

3. Определение значений m:

   Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых эта прямая пересекает график ровно один раз.

   Рассмотрим возможные случаи:

   • Если \( m \) меньше минимального значения функции (минимум \( y = -1 \) в вершине), то пересечений нет.
   • Если \( m \) равно минимуму функции \( m = -1 \), то прямая \( y = -1 \) имеет одно пересечение с графиком (в вершине).
   • Если \( m \) больше минимума, но меньше значения \( y \) в выколотой точке \( (-1, 3) \) (то есть \( -1 < m < 3 \)), то прямая \( y = m \) имеет два пересечения с графиком.
   • Если \( m \) равно значению \( y \) в выколотой точке \( m = 3 \), то прямая \( y = 3 \) будет иметь два пересечения: одно в точке \( (-1, 3) \) (которая выколота), и еще одно. В этом случае, из-за выколотой точки, прямая \( y=3 \) пересекает график ровно один раз.
   • Если \( m \) больше значения \( y \) в выколотой точке \( m > 3 \), то прямая \( y = m \) будет иметь два пересечения с графиком.

Ответ: m = -1 и m = 3