Постройте график функции y = −x² − 4x + 1 при x ≥ −3; y = −x − 2 при x < −3. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Для ветви параболы преобразуем выражение: \(y=-(x+2)^2+5\), где \(x\ge -3\). Её вершина — \((-2;5)\), а точка \((-3;4)\) принадлежит графику. Линейная ветвь \(y=-x-2\) задана при \(x<-3\); в точке \((-3;1)\) у неё выколотая точка.

Посчитаем пересечения каждой ветви с горизонтальной прямой \(y=m\).

• Линейная ветвь даёт одну точку при \(m>1\), поскольку её точка при \(x=-3\) исключена.

• Для параболы уравнение пересечения имеет вид \((x+2)^2=5-m\). При \(m<4\) допустим один корень, при \(4\le m<5\) — два, при \(m=5\) — один, а при \(m>5\) пересечений нет.

Итак, ровно две общие точки получаются при \(1

Ответ: \(m\in(1;4)\) или \(m=5\).