Постройте график функции y = x² - 4x + 1 с помощью производной.

Решение:

Для построения графика функции \( y = x^2 - 4x + 1 \) с помощью производной, выполним следующие шаги:

1. Найдём первую производную функции:
   \( y' = (x^2 - 4x + 1)' = 2x - 4 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 2x - 4 = 0 \)
   \( 2x = 4 \)
   \( x = 2 \)
3. Определим значение функции в критической точке:
   \( y(2) = 2^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3 \)
   Точка \( (2, -3) \) — вершина параболы.
4. Определим направление ветвей параболы:
   Так как коэффициент при \( x^2 \) равен \( 1 \) (положительный), ветви параболы направлены вверх.
5. Найдём точки пересечения с осями:
   
   • С осью Oy (при \( x = 0 \)): \( y = 0^2 - 4(0) + 1 = 1 \). Точка \( (0, 1) \).
   • С осью Ox (при \( y = 0 \)): \( x^2 - 4x + 1 = 0 \).
     Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12 \).
     \( x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \).
     Примерно \( x_1 \approx 2 - 1.73 = 0.27 \) и \( x_2 \approx 2 + 1.73 = 3.73 \). Точки \( (0.27, 0) \) и \( (3.73, 0) \).
6. Построим график:
   Отметим вершину параболы \( (2, -3) \), точку пересечения с \( Oy \) \( (0, 1) \) и точки пересечения с \( Ox \) \( (0.27, 0) \), \( (3.73, 0) \). Соединим точки плавной линией, учитывая направление ветвей.

Ответ: График функции \( y = x^2 - 4x + 1 \) — парабола с вершиной в точке \( (2, -3) \), ветвями, направленными вверх.