Постройте график функции y = |x² – 6x + 5|. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

1. Для построения графика функции \( y = |x^2 - 6x + 5| \) сначала построим график функции \( y = x^2 - 6x + 5 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх.
2. Найдем вершину параболы. Координата x вершины: \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = 3 \). Координата y вершины: \( y_в = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \). Вершина параболы находится в точке \( (3, -4) \).
3. Найдем точки пересечения с осью абсцисс, приравняв \( y = 0 \): \( x^2 - 6x + 5 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 6 \), \( x_1 \cdot x_2 = 5 \). Корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 5 \). Точки пересечения с осью x: \( (1, 0) \) и \( (5, 0) \).
4. График функции \( y = x^2 - 6x + 5 \) проходит через точки \( (1, 0) \), \( (5, 0) \) и имеет вершину \( (3, -4) \).
5. Для получения графика \( y = |x^2 - 6x + 5| \) нужно взять ту часть графика \( y = x^2 - 6x + 5 \), которая находится выше оси абсцисс (или на ней), и зеркально отразить ту часть, которая находится ниже оси абсцисс, относительно оси абсцисс.
6. Отраженная часть графика будет иметь вершину в точке \( (3, 4) \).
7. Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение \( y = k \), где \( k \) — некоторое число.
8. Рассмотрим, сколько точек пересечения может иметь график \( y = |x^2 - 6x + 5| \) с прямой \( y = k \).
• Если \( k < 0 \), прямая \( y = k \) не пересекает график (0 точек).
• Если \( k = 0 \), прямая \( y = 0 \) (ось абсцисс) пересекает график в двух точках \( (1, 0) \) и \( (5, 0) \).
• Если \( 0 < k < 4 \), прямая \( y = k \) пересекает график в четырех точках (две точки на отраженной части параболы и две на исходной части).
• Если \( k = 4 \), прямая \( y = 4 \) пересекает график в трех точках (две точки на отраженной части параболы и одна точка, где исходная парабола достигает значения 4).
• Если \( k > 4 \), прямая \( y = k \) пересекает график в двух точках (на отраженной части параболы).
9. Наибольшее число общих точек — 4.

Ответ: Наибольшее число общих точек — 4.