Постройте график функции y = (x²+7x+12) (x²-x-2) / (x²+5x+4) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Сначала упростим выражение для функции:

Разложим числитель и знаменатель на множители:

• \( x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) \)
• \( x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) \)
• \( x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4) \)

Теперь подставим разложенные множители в дробь:

\( y = \frac{(x+3)(x+4)(x-2)(x+1)}{(x+1)(x+4)} \)

Сокращаем общие множители \( (x+1) \) и \( (x+4) \), при условии, что \( x \neq -1 \) и \( x \neq -4 \).

Упрощенная функция:

\( y = (x+3)(x-2) = x^2 + x - 6 \)

Это парабола с вершиной в точке \( x = -0.5 \), \( y = (-0.5)^2 + (-0.5) - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25 \).

Теперь учтем ограничения:

• При \( x = -1 \): \( y = (-1)^2 + (-1) - 6 = 1 - 1 - 6 = -6 \). Точка \( (-1, -6) \) будет выколотой.
• При \( x = -4 \): \( y = (-4)^2 + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 \). Точка \( (-4, 6) \) будет выколотой.

График функции — парабола \( y = x^2 + x - 6 \) с выколотыми точками \( (-1, -6) \) и \( (-4, 6) \).

Теперь найдем значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет ровно одну общую точку с графиком.

• Прямая \( y = m \) параллельна оси Ox.
• Вершина параболы находится в точке \( (-0.5, -6.25) \).
• Выколотые точки: \( (-1, -6) \) и \( (-4, 6) \).

Прямая \( y = m \) будет иметь ровно одну общую точку с графиком в следующих случаях:

1. Когда \( m \) равно значению \( y \) в вершине параболы: \( m = -6.25 \).
2. Когда \( m \) равно значению \( y \) одной из выколотых точек, при условии, что другая часть графика существует.
3. \( m = 6 \) (значение \( y \) для выколотой точки \( (-4, 6) \)). В этом случае прямая \( y=6 \) пересечет параболу в точке \( x=-5 \) (так как \( (-5)^2 + (-5) - 6 = 25 - 5 - 6 = 14 \) — неверно, проверим \( x=-5 \): \( y = (-5+3)(-5-2) = (-2)(-7) = 14 \) — тоже неверно. Для \( y=6 \), \( x^2+x-6 = 6 \implies x^2+x-12=0 \implies (x+4)(x-3)=0 \). То есть точки \( (-4, 6) \) и \( (3, 6) \). Поскольку \( (-4, 6) \) выколота, останется одна точка \( (3, 6) \).
4. \( m = -6 \) (значение \( y \) для выколотой точки \( (-1, -6) \)). Для \( y=-6 \), \( x^2+x-6 = -6 \implies x^2+x=0 \implies x(x+1)=0 \). То есть точки \( (0, -6) \) и \( (-1, -6) \). Поскольку \( (-1, -6) \) выколота, останется одна точка \( (0, -6) \).

Таким образом, прямая \( y = m \) будет иметь ровно одну общую точку с графиком, когда \( m \) равно координате вершины параболы или координате \( y \) одной из выколотых точек.

Ответ: m = -6.25, m = -6, m = 6.