Постройте график функции y = |x|(x+1) – 6x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Разберем функцию:

• \[ y = |x|(x+1) - 6x \]

Рассмотрим два случая:

1. Если x ≥ 0
• \[ y = x(x+1) - 6x = x^2 + x - 6x = x^2 - 5x \]
• Это парабола, ветви вверх. Вершина находится в точке x = -(-5)/(2*1) = 2.5.
• Найдем значение y в вершине: y = (2.5)^2 - 5(2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25.
• Ветви параболы начинаются от (0; 0).
2. Если x < 0
• \[ y = -x(x+1) - 6x = -x^2 - x - 6x = -x^2 - 7x \]
• Это парабола, ветви вниз. Вершина находится в точке x = -(-7)/(2*(-1)) = -3.5.
• Найдем значение y в вершине: y = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) = -12.25 + 24.5 = 12.25.
• Ветви параболы начинаются от (0; 0).

Анализ графика:

• График состоит из двух частей парабол.
• При x ≥ 0 график имеет минимум в точке (2.5; -6.25).
• При x < 0 график имеет максимум в точке (-3.5; 12.25).
• Точка (0; 0) является точкой соединения двух частей.

Нахождение значений m:

• Прямая y = m является горизонтальной линией.
• Чтобы прямая y = m имела ровно две общие точки с графиком, она должна проходить через:
• 1. Верхнюю точку второго графика (где x < 0): m = 12.25.
• 2. Нижнюю точку первого графика (где x ≥ 0): m = -6.25.
• 3. Точку пересечения двух частей графика, если бы они не были ограничены условиями x < 0 и x ≥ 0. Однако, так как точка (0,0) является общей, прямая y=0 будет иметь 3 точки пересечения.

График:

Визуализируем график функции y = |x|(x+1) - 6x. Он будет выглядеть как две параболы, соединенные в точке (0,0). Одна парабола (для x<0) открывается вниз и имеет максимум при y=12.25. Другая парабола (для x≥0) открывается вверх и имеет минимум при y=-6.25.

Вывод:

Для того чтобы прямая y = m имела с графиком ровно две общие точки, она должна быть либо на уровне максимального значения ветви, которая идет вниз, либо на уровне минимального значения ветви, которая идет вверх.

Ответ: m = -6,25, m = 12,25