Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Сначала построим график функции \( y = x^2 + x - 2 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх.
- Найдем вершину параболы. Координата x вершины: \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5 \).
- Найдем координату y вершины: \( y_в = (-0.5)^2 + (-0.5) - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25 \).
- Найдем точки пересечения с осью x (нули функции): \( x^2 + x - 2 = 0 \). \( D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \). \( x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \). \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -2 \).
- Найдем точку пересечения с осью y: при \( x = 0 \), \( y = -2 \).
- Теперь построим график функции \( y = |x^2 + x - 2| \). Часть параболы, лежащая ниже оси x, симметрично отражается вверх.
- Далее построим график функции \( y = |x^2 + x - 2| - 2 \). Это значит, что весь график \( y = |x^2 + x - 2| \) опускается на 2 единицы вниз.
График функции y = |x²+x-2|-2:
- Вершина параболы \( y = x^2+x-2 \) находится в точке \( (-0.5, -2.25) \).
- После применения модуля \( y = |x^2+x-2| \), точки ниже оси x отражаются вверх. Минимальные значения становятся 0 (в точках \( x = -2 \) и \( x = 1 \)).
- После вычитания 2, график опускается на 2 единицы. Новая вершина будет в \( (-0.5, -2.25 - 2) = (-0.5, -4.25) \).
- График будет иметь два "пика" на уровне \( y=0 \) (в точках \( x=-2 \) и \( x=1 \)) и "впадину" в \( y=-4.25 \).
Определение значений m:
Прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки в следующих случаях:
- Когда \( m \) находится между значением \( y=0 \) (где график пересекает ось x) и значением \( y=-2 \) (вершина нижней части графика после смещения).
- Когда \( m \) меньше или равно значению впадины графика.
Значения \( y \) графика \( y = |x^2 + x - 2| - 2 \) в ключевых точках:
- В точках \( x=-2 \) и \( x=1 \) (где \( x^2+x-2=0 \)): \( y = |0| - 2 = -2 \).
- В вершине \( x=-0.5 \) (где \( x^2+x-2=-2.25 \)): \( y = |-2.25| - 2 = 2.25 - 2 = 0.25 \).
Рассмотрим, где прямая \( y = m \) пересекает график в двух точках:
- Если \( m > 0.25 \): Прямая пересекает график в двух точках (одна ветвь параболы).
- Если \( m = 0.25 \): Прямая касается вершины графика, пересекая его в одной точке.
- Если \( -2 < m < 0.25 \): Прямая пересекает график в четырех точках.
- Если \( m = -2 \): Прямая касается "дна" графика, пересекая его в двух точках.
- Если \( -4.25 < m < -2 \): Прямая пересекает график в двух точках.
- Если \( m = -4.25 \): Прямая касается самой нижней точки графика, пересекая его в одной точке.
- Если \( m < -4.25 \): Прямая не пересекает график.
Таким образом, прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки, когда \( m > 0.25 \) или \( m \) находится в интервале \( (-4.25, -2] \).
Ответ: m ∈ (-∞; -4.25] ∪ (0.25; +∞).
